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Irregular differential systems of order two and the related expansion problems. (English) JFM 53.0429.01
Betrachtet man die Differentialgleichung \[ u'' + (\varrho^2 + g)u = 0,\tag{1} \] wobei vorübergehend \(g(x) = g(1- x)\) sei, und stellt man die Randbedingungen \[ u(0) -u(1) = 0,\quad u'(0) + u'(1) = 0,\tag{2} \] so wird (2) durch jede Lösung von (1) erfüllt, für welche \(u\biggl(\dfrac12\biggr)=1, \;u'\biggl(\dfrac12\biggr)=0\) ist. Jedes \(\varrho^2\) ist also Eigenwert, und es kann von einem Theorem über die Entwicklung einer willkürlichen Funktion nach diesen Eigenfunktionen keine Rede sein. Zwischen dem Fall regulärer Randwertaufgaben, bei denen das Entwicklungstheorem vollständig behandelt worden ist, und dem hier genannten Fall gibt es noch singuläre Randbedingungen; bei diesen gelten Entwicklungstheoreme, wenn man von der zu entwickelnden Funktion gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften voraussetzt (vgl. Hilda Pollaczek-Geiringer; Math. Ann. 90 (1923), 292-317; F. d. M. 49, 315 (JFM 49.0315.*)). Verf. diskutiert nun die Frage, bei welchen irregulären Randbedingungen die Reihenentwicklung einer willkürlichen Funktion nach geeigneten Mitteln summierbar ist.

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