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Die Randwert- und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten. (Anwendung der direkten Methoden der Variationsrechnung.). (German) JFM 53.0469.03
Verf. behandelt die Gleichgewichts- und Schwingungsprobleme der elastischen eingespannten und freien Platte. Die Existenz der Lösungen der betr. Probleme wird dadurch bewiesen, daß er (in Verallgemeinerung eines Courant’schen Ansatzes) zeigt, daß 1. jede Minimalfolge der entsprechenden Variationsprobleme gegen eine Grenzfunktion \(u\) konvergiert. 2. die Grenzfunktion \(u\) die notwendigen Differentialquotienten für die Bildung der Eulerschen Differentialgleichungen des betr. Variationsproblems besitzt. Die wesentlichen Schwierigkeiten, die zu überwinden waren, waren die Aufstellung einiger immer wieder bei derartigen Problemen auftretenden Integralungleichungen und deren Beweis; es sind dies Ungleichungen zwischen den Kurven- und Gebietsintegralen \[ \int\varphi^2\,ds,\;\iint\varphi^2\,dx\,dy,\;\int\left(\varphi_x^2+\varphi_y^2\right)\,ds,\;\iint\left(\varphi_x^2+\varphi_y^2\right)\,dx\,dy,\;\iint(\varDelta\varphi)^2\,dx\,dy,\ldots. \] (Siehe auch Abschn. IV, Kap. 15.)

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References:
[1] So durch sukzessive Näherungen von Zaremba, Bull. de l’Ac. des Sc. de Cracovie 1907, A. Korn, Ann. de l’École norm.25 (1908), durch Zurückführung auf Integralgleichungen von A. Haar, Gött. Nachr. 1907; Lauricella, Rend. della R. Acc. dei Lincei 1907, Acta mathem. 1909 und mit Hilfe eines gleichwertigen Variationsproblemes von W. Ritz, Ges. Werke, Paris 1911, XV?XVII.
[2] A. Über die Eigenwerte, Math. Zeitschr.7 (1920); B. Über die Lösungen, Math. Ann.85 (1922); C. Über ein konvergenzerzeugendes Prinzip, Gött. Nachr. (22. II. 1923); D. Courant-Hilbert, Methoden der math. Physik (1924); E. Über direkte Methoden, Jahresb. d. deutsch. Math.-Vereinigung34 (1925) und Math. Annalen97 (1927); F. Über die Anwendung der Variationsrechnung, Acta math.43 (1926).Im folgenden stets mit A, B,..., Fzitiert.
[3] Vgl. zur Aufstellung des Problems: G. Kirchhoff, Über das Gleichgewicht und die Bewegungen einer elastischen Scheibe. Crelles Journ.40 (1850), S. 51. · ERAM 040.1086cj · doi:10.1515/crll.1850.40.51
[4] Die Existenz dieses Integrals ließe sich übrigens?bei unseren Voraussetzungen über den Rand?aus der Existenz des IntegralsJ 0[?] folgern. Vgl. die Anmerkung 15) S. 213.
[5] Vgl. auch das kürzere, aber speziell auf den Fall der eingesparnnten Platte zugeschnittene Verfahren von W. Ritz, Ges. W. XV, S. 200.
[6] Der folgende Beweis fällt im wesentlichen mit einer von Picard, Journ. de math. (4)6 (1890), S. 151-153 zu einem ähnlichen Zwecke angestellten Betrachtung zusammen.
[7] Diese Grenzgleichung hätten wir auch unmittelbar aus (11) schließen können. Vgl. B. S. 316, 317.
[8] Die kurze Betrachtung von Ritz zu diesem Zweck ist nicht stichhaltig. Ges. W. XV, S. 214.
[9] Vgl. zu den Bezeichungen z. B. A. Nadai, Elastische Platten 1923, S. 33.
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