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Über die Darstellung von Punktfunktionen im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum durch Ebenenintegrale. (German) JFM 53.0475.02

Radon (F. d. M. 46, 436 (JFM 46.0436.*)) hat zuerst die Aufgabe behandelt, eine Funktion \(f (x_1, \ldots, x_n)\) durch ihr Ebenenintegral \[ g(\xi_1, \ldots,\xi_n, s) = \int f(x)\, do \] darzustellen; \(do\) bedeutet das Flächenelement der Ebene \[ \xi_1x_1 +\cdots+\xi_n x_n=s, \] über die integriert wird. Später hat Uhlenbeck einige Radonsche Resultate wiedergewonnen und dabei einen Zusammenhang des Problems mit dem Huygens’schen Prinzip in \(n\) Dimensionen bemerkt. Die Verf. geht davon aus und behandelt in der vorliegenden Arbeit die Wellengleichung \[ F_{tt}=F_{x_1x_1} +\cdots + F_{x_nx_n} \] mit der Tedoneschen Anfangsbedingung \[ F = 0,\quad D_t^1F = F_t = f(x)\quad\text{für}\quad t = 0. \] Die Integration wird nach Herglotzscher Weise geleistet; daraus wird unmittelbar \(f\) als Funktional von \(g\) gewonnen. Es ergibt sich: \[ \begin{aligned} n \equiv 0 \pmod 2 :f(x) &{}= A (n) \left(D_t^n F_0(x,t)\right)_{t=0}, \\ F_0(x,t)&{}= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} G(x,s)\log|s - t|\,dt. \\ n \equiv 1 \pmod 2 :f(x) &{}= B (n) \left(D_t^n F_1(x,t)\right)_{t=0}, \\ F_1(x,t)&{}= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} G(x,s)\mathop{\text{sgn}}\nolimits(s - t)\,ds. \end{aligned} \] Dabei ist \[ G(x, s) = \frac1{\omega_n} \int g (\xi, X + s)\, d\omega_\xi,\quad X \equiv \xi_1x_1+\cdots+ \xi_nx_n \] und \(d\omega_\xi\) das Oberflächenelement der \(n\)-dimensionalen Einheitskugel mit der Oberfläche \(\omega_n\).

Citations:

JFM 46.0436.*
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References:

[1] Ber. der math.-phys. Kl. d. s?chs. Ges. d. Wiss., Sitzung vom 30. IV. 1917, S. 262-277.
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[3] Annali di Matematica, 3. Serie,1 (1898).
[4] Ber. d. math.-phys. Kl. d. s?chs. Ges. d. Wiss., Sitzung vom 3. V. 1926, S. 41-74.
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