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Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen. (German) JFM 53.0552.01

Als Verallgemeinerung des Brouwerschen Begriffes der Basis der Zyklosis (1912; F. d. M. 43, 569) werden für alle Dimensionen und beliebige kompakte metrische Räume Zusammenhangsbasen (= Homologie- oder Bettische Basen) bzw Zahlen definiert. Auch der Begriff der Fundamentalgruppe wird auf allgemeine kompakte metrische Räume übertragen.
Es wird ferner das Verhalten der neugewonnenen topologischen Invarianten bei verschiedenen Typen von stetigen Abbildungen untersucht und dabei u. a. folgender Satz bewiesen:
Wird ein kompakter Raum \(A\) auf einen kompakten Raum \(B\) abgebildet derart, daß die Zusammenhangszahlen der Urbildmengen verschwinden, so sind die Zusammenhangszahlen von \(A\) mit denen von \(B\) identisch.

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References:

[1] Diese Untersuchungen gehen von einer m?ndlichen Bemerkung Brouwers aus da? diese Invarianz, die ich in meiner Abhandlung ??ber stetige Abbildungen einer Kugelfl?che? (Proc. Amsterdam29 (1926), S. 443-453) f?r die dort definierte Henkelzahl undn=0 beweise, auch f?r die von ihm (Math. Annalen72, S. 422-425) eingef?hrte Vielfachheit der Basis der Zyklosis gilt. Da? die Voraussetzungen ?ber die Gesamturbilder zur Erzwingung der Invarianz der 0-ten bisn-ten Zusammenhangszahl naturgem?? sind, sieht man unmittelbar in jenen F?llen, wo eine Menge auf einen einzigen Punkt abgebildet wird. Da? die (n+1)-te Zusammenhangszahl gr??er werden kann, wenn die genannten Voraussetzungen nicht v?llig erf?llt sind, sieht man, wenn man eine Kreisscheibe eindeutig stetig so auf eine Kugel abbildet, da? dem Randkreis a) ein (mit Ausnahme der Endpunkte) doppelt gelegter Bogen, b) ein Punkt entspricht, und die Abbildung sonst eineindeutig ist.
[2] Diese Zusammenhangszahlen sind, abgesehen davon, da? wir sie um 1 kleiner nehmen, genau die von O. Veblen [An application of modular equations in analysis situs. Am. Trans.14 (1912), S. 86-94], O. Veblen und J. W. Alexander [Manifolds ofn dimensions. Am. Trans.14, S. 163-178], O. Veblen [Analysis situs. Cambridge Colloquium 1916] eingef?hrten. Wir haben nur die Definition derselben von der Darstellung durch Matrizes losgel?st. Sie k?nnen als die genaue Fassung der von Riemann, Fragment aus der Analysis Situs. Werke, S. 479-482 eingef?hrten Zusammenhangszahlen gelten.
[3] Analysis situs. Journ. Ec. Pol. (2)1 (1895) und Compl. 1. Rendiconti Palermo13 (1899), S. 285-343.
[4] Compl. 2. Proc. Lond. Math. Soc.32 (1901), S. 277-308; Compl. 5. Rend. Pal.18 (1904), S. 45-110.
[5] Im Sinn von Tietze, Monatsh. f. Math. Phys.19 (1908), S. 62.
[6] Diese Festsetzungen kommen darauf hinaus, zwei WegeA, B mit denselben Anfangs- und Endpunkten als ?quivalent inC anzusehen, wenn es inC einen orientierten,einfach zusammenh?ngenden Komplex gibt, dessen RandB-A ist. Poincar? verlangt (Analysis situs, S. 62) blo?, da?B-A?0 inC sei, was zu wenig ist und in Widerspruch zu seinem sonstigen Text steht.
[7] Denselben Standpunkt nimmt P. Alexandroff (Zur. Begr?ndung dern-dimensionalen mengentheoretischen Topologie, Math. Annalen94, S. 296-308) ein.
[8] Dieser Begriff der ?-Ab?nderung ist f?r Zykel analog, f?r Wege (siehe weiter unten) ?bereinstimmend mit dem von Brouwer a. a. O. gegebenen.
[9] Dabei verstehen wir die Zeichen ? und + f?r nicht orientierte Zykelmodulo 2.
[10] Dieses Beispiel ?berschl?gt der Leser zun?chst am besten, um im Zusammenhang nicht gest?rt zu werden.
[11] In Worten l??t sich dies so ausdr?cken: Wir identifizieren die linke H?lfte der Menge der unteren Endpunkte gleichsinnig kongruent mit der ?rechten oberen H?lfte?. Dann von den ?brigbleibenden Endpunktmengen wieder die linke untere H?lfte gleichm??ig kongruent mit der rechten oberen usw.
[12] Diese Invarianz gilt in nicht kompakten abgeschlossenen Mengen nicht.
[13] Hausdorff, Grundz?ge, S. 315.
[14] Hausdorff, Grundz?ge, S. 311.
[15] Hausdorff, a. a. O. Grundz?ge, S. 314, V.
[16] Compt. Rend.162 (1916), S. 629.
[17] Wollte man genaue Analoga zu-Poincar?’s Bettischen Zahlen und den-Zusammenhangszahlen von Veblen und Alexander haben, so m??te man ?berall noch 1 addieren. Wir folgen aber in der Z?hlung lieber Schl?fli, Klein, Dyck [vgl. die Zitate bei W. Dyck, Math. Ann.32 (1888), S. 483] und G. Mannoury, Nieuw Archief voor Wiskunde (2)3 (1898), S. 126-152. · JFM 20.0519.04
[18] Diese Begriffsbildung ist analog zu der von Brouwer a. a. O. eingef?hrten Basis der Zyklosis, welche sich in derselben Weise auf die Fundamentalgruppe bezieht, wie die oben definierten Vielfachheiten auf die Zusammenhangs- und Homologiegruppen.
[19] Dasselbe Beispiel beantwortet ebenso die analoge Frage bez?glich der Vielfachheit der Fundamentalgruppe und der Vielfachheit der Brouwerschen Basis der Zyklosis in negativem Sinn.
[20] Gesamturbild einer MengeM=Menge aller Urbilder aller Punkte vonM.
[21] Dabei gilt nat?rlichy ik =y ki ,y ikl =y kil =ikl kli =...
[22] Dabei ist nat?rlich jedesK ikl... n?1 =K jpq... n?1 =... in ebenso vielen Exemplaren zu denken, als es zufolge der Konstruktion verschiedene Bezeichnungen hat.
[23] Die in Anm. 1 erw?hnten beiden S?tze sind eindimensionale Analoga von (9).
[24] Die analoge Behandlung der Fundamentalgruppe verschieben wir auf eine sp?tere Gelegenheit.
[25] Die hier abgeleiteten Abbildungss?tze lassen sich ebensogut als S?tze ?ber oberhalb stetige Zerlegungen von kompakten abgeschlossenen Mengen auffassen. ?ber diesen Begriff, der von R. L. Moore [Proc. Nat. Ac.10 (1924), S. 356-360, Trans. Am. Math. Soc.27 (1925), S. 416-428] und P. Alexandroff [Proc. Amsterdam28, Nr. 10, Math. Annalen96, S. 555-571] eingef?hrt worden ist, bzw. unsere Terminologie, vgl. meine oben zitierte Arbeit Amst. Proc.29, S. 443.
[26] R. E. Root, Am. Journ. Math.36 (1917), S. 90. SindA undB metrische R?ume, so kann auch der Produktraum in einfachster Weise metrisiert werden. Vgl. Hausdorff, Mengenlehre 1926, S. 102.
[27] Nach W. Hurewicz, Proc. Amsterdam29 (1926), S. 1014-1017.
[28] Vgl. Hurewicz,a. a. O.29 (1926), S. 1015, Anm. 1.
[29] Hierzu vgl. den Auszug aus meinem Vortrag auf der Naturforscherversammlung in D?sseldorf (1926), ??ber den h?heren Zusammenhang kompakter R?ume? (Jhrsber. d. deutsch. Math. Ver.35, Heft 9-12), wo weitere Invarianten dieser Abbildungen aufgezeigt werden. (Zusatz bei der Korrektur.)
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