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Le trasformazioni di Christoffel e di Darboux per le superficie rotonde, coniche e cilindriche. Alcune generazioni per rotolamento del cono e del cilindro di rotazione. (Italian) JFM 53.0669.03
Die Abhandlung besteht aus folgenden drei Teilen: I. Über die konformen Transformationen. II. Das rekurrierende Verfahren von Darboux-Christoffel. III. Die Darboux’sche Transformation \(D_m\).
I. Verf. betrachtet die Transformationen \(H\), deren jede das Produkt zweier Inversionen ist, und zwar unter der Voraussetzung, daß ihre Pole auf einer isotropen Geraden liegen. Eine solche Transformation ist keine Ähnlichkeitstransformation und kann auch nicht als Produkt einer Inversion mit einer Bewegung angesehen werden. Durch eine Transformation \(H\) kann man stets eine Rotationsfläche in einen Kegel oder Zylinder verwandeln. Eine Fläche, auf der ein System von Krümmungslinien durch die Kugeln oder Ebenen eines Büschels bestimmt wird, nenne man eine Fläche \(J\). Eine Fläche \(J\) erhält man, indem man auf eine Joachimsthalsche Fläche eine Inversion ausübt. Verf. beweist, daß jede isotherme Fläche \(J\) eine Rotationsfläche oder ein Kegel oder ein Zylinder oder die konforme Transformierte eines dieser Typen ist.
II. Zwei Flächen sind durch eine Christoffelsche Transformation konform auf einander bezogen, wenn ihre Normalen in entsprechenden Punkten parallel sind. Eine solche Transformation ist nicht mit einer Inversion vertauschbar. Dadurch gelangte Darboux zu einem rekurrierenden Verfahren, durch welches man aus einer auf ihre Krümmungslinien bezogenen isothermen Fläche unendlich viele erhalten kann; dieses Verfahren besteht in einer alternierenden Anwendung von Inversionen und Christoffelschen Transformationen. Verf. wendet das Verfahren auf Rotations-, Kegel- und Zylinderflächen an. Aus der großen Zahl von Resultaten möge nur das folgende genannt werden: Die Delaunayschen Flächen sind die einzigen Rotationsflächen konstanter Krümmung, welche man als konforme Transformierte der Rotations-, Kegel- und Zylinderflächen erhalten kann.
III. Eine Transformation \(D_m\) läßt eine isotherme Fläche \(\Sigma \) in eine andere \(\Sigma '\) übergehen, welche mit \(\Sigma \) die zwei Schalen der Einhüllenden einer Kugelkongruenz darstellt, für die die zugehörige Berührungstransformation konform ist. Verf. wendet eine solche auch auf die Rotations-, Kegel- und Zylinderflächen an und erhält z. B. für die Dupinsche Zyklide unendlich viele Erzeugungen der genannten Art.

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Full Text: Numdam EuDML