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Differentialinvarianten in der Geometrie. Riemannsche Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. (German) JFM 53.0680.13

109 S. Leipzig, B. G. Teubner (Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen, III D 11) (1927).
Aus den Vorbemerkungen: “Der vorliegende Bericht über Differentialinvarianten in der Geometrie und Riemannsche Mannigfaltigkeiten zerfällt in zwei wesentlich verschiedene Teile. Im ersten Teil werden die Untersuchungen besprochen, die Bezug haben auf die Differentialinvarianten geometrischer Gebilde gegenüber den wichtigsten endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen. Der zweite ist den Mannigfaltigkeiten mit quadratischer Maßbestimmung gewidmet, sowie den Verallgemeinerungen, die der Begriff dieser “Riemannschen” Mannigfaltigkeiten in der letzten Zeit erfahren hat.
Bei der Abfassung des ersten Teiles waren folgende Grundsätze maßgebend: Die allgemeine, der Hauptsache nach von S. Lie herrührende Theorie wird gerade nur soweit berührt, als es zum Verständnis der Arbeiten notwendig ist, die sich mit den einzelnen Gruppen beschäftigen. Das Hauptgewicht ist auf den Bericht über diese besonderen Untersuchungen gelegt. Jedoch werden auch dabei ältere Theorien, namentlich solche, die schon in anderen Referaten besprochen sind, nur ganz kurz behandelt; eingehender also nur jene Gebiete, die sich erst in der letzten Zeit entwickelt haben, wie z. B. die affine und die projektive Differentialgeometrie. Hier werden auch die erschienenen Arbeiten einigermaßen vollständig angeführt, während sonst in der Regel nur die allerwichtigsten Schriften genannt werden.
Die im zweiten Teile behandelte Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen ist verhältnismäßig ausführlich dargestellt: insbesondere wurde hier eine möglichst vollständige Berücksichtigung der vorhandenen Literatur angestrebt, wenn auch sicherlich nicht erreicht.”
Der Bericht schließt ab mit den Arbeiten, die bis Ende 1922 erschienen sind; die im Laufe des Jahres 1923 erschienenen Arbeiten konnten zwar nicht im Text, wohl aber noch in den Fußnoten berücksichtigt werden.
Inhaltsverzeichnis: A. Differentialinvarianten in der Geometrie der wichtigsten endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen: Allgemeines, Metrische, Nichteuklidische, Affine, Projektive Differentialgeometrie, Differentialgeometrie weiterer Transformationsgruppen. B. Riemannsche Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen, Einleitung. Allgemeine Theorie der einzelnen Riemannschen Mannigfaltigkeit. \(m\)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten (\(1 < m < n\)), die in einer \(n\)-dimensionalen enthalten sind. Besondere Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Neuere Grundlegung der Infinitesimalgeometrie.