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A gauge-invariant tensor calculus. (English) JFM 53.0683.01
Verf. betrachtet eine Mannigfaltigkeit mit einer Finslerschen Maßbestimmung und läßt sodann konforme Transformationen dieser Maßbestimmung zu. Darauf betrachtet er eine Art von Skalaren, Vektoren und Größen höheren Grades, deren Bestimmungszahlen nicht nur den üblichen Transformationen unterworfen sind, sondern außerdem noch einer proportionalen Änderung, die durch Multiplikation mit einer Potenz des Faktors \(\lambda \) der konformen Transformation der Maßbestimmung entsteht. Der Exponent heißt Gewicht (“weight”). Für diese Größen bildet Verf. sodann eine sowohl bei Koordinatentransformationen als bei konformen Transformationen der Maßbestimmung invariante Übertragung. Er legt nämlich den Wert fest, den eine Größe in \(Q\) haben soll, wenn sie “affine-equal” sein soll zu einer Größe \(\varOmega \) im benachbarten Punkte \(P\). Diese Größe nennt er \(\varOmega +\underset{^\circ } d\varOmega \) (Indizes sind hier unterdrückt). Charakteristisch für diese Übertragung und springender Punkt der ganzen Sache ist, daß die Differenz des gewöhnlichen und des vom Verf. vermiedenen kovarianten Differentials, welche Differenz gerade durch das vom Verf. ausschließlich verwendete \(\underset{^\circ} d\) angegeben wird, bei einem “Skalar” vom Gewicht \(\neq 0\) nicht verschwindet, sondern das negative Produkt des “Skalars” mit seinem Gewicht und mit der Überschiebung \(\varphi _\mu dx^\mu \) ist, wobei \(\varphi _\mu \) sich in besonderer Weise transformiert. Damit ist wirklich ein ganz bedeutender Fortschritt erreicht. Nach Einführung einer Riemannschen Maßbestimmung, wobei natürlich eine Übertragung der Dichten entsteht, wird die Theorie angewandt auf einige Spezialfälle. Es ist merkwürdig, daß Verf. nicht gesehen hat, daß seine ganze Theorie ihre Bedeutung behält, auch wenn überhaupt von keiner Maßbestimmung die Rede ist und man einfach die Gruppe der Koordinatentransformationen erweitert mit den Transformationen, die durch Multiplikation mit einer Potenz einer freien Variablen \(\lambda \) zustande kommen.

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. \textit{Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.}
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