×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über \(n\)-fache Orthogonalysteme in \(V_n\). (German) JFM 53.0685.03
Schouten hatte in seinem “Ricci-Kalkül” (F. d. M. 50, 588 (JFM 50.0588.*)) und zwar in Abschnitt V, § 12, im Anschluß an Ricci (1896, F. d. M. 27, 543 (JFM 27.0543.*)) die Frage erörtert, wann durch eine Kurvenkongruenz im Riemannschen Raume von \(n\) Dimensionen \(n-1\) gegenseitig orthogonale Scharen von Hyperflächen gelegt werden können. Durch eine Arbeit von Eisenhart (F. d. M. 49, 538 (JFM 49.0538.*)) wurde Schouten auf einen Fehler in den Entwicklungen von Ricci aufmerksam; er nimmt nun diesen Fragenkomplex wieder auf und zwar für den Fall der Normalenkongruenzen. Einer solchen ist nach Schouten in jedem Punkte ein symmetrischer Tensor zweiten Grades zugeordnet; es werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür ermittelt, daß es \(n-1\) orthogonale Systeme von je \(\infty ^1\) Hyperflächen gibt, deren Normalen überall die \(n-1\) nicht mit dem Einheitsvektor der Kongruenz zusammenfallenden Hauptrichtungen des genannten Tensors sind, und die in einem beliebigen Punkte zu solchen willkürlich gewählten Hauptrichtungen senkrecht stehen. In Verallgemeinerung dieses Ergebnisses wird die entsprechende Frage für ein beliebiges (symmetrisches) Tensorfeld und ein n-faches Orthogonalsystem gestellt und beantwortet.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Dei sistemi di congruenze ortogonali in una variet? qualunque. Mem. Acc. Linc. (5)2, pp. 276-322. · JFM 27.0543.03
[2] Orthogonal systems of hypersurfaces in a general Riemann space. Trans. Amer. Math. Soc. 25, pp. 259-280.
[3] Der Ricci-Kalk?l [Berlin: Julius Springer, 1924], weiterhin zitiert als R. K.
[4] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 107.
[5] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 191, (131).
[6] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 191, (26b).
[7] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 177.
[8] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 177.
[9] F?r die geometrische Bedeutung der Bedingung (C), die wir sp?ter doch durch eine andere ersetzen werden, siehe R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 195.
[10] A. a. O. Fu?note zu S. 311.
[11] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 182 (80).
[12] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 196.
[13] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 171.
[14] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 169.
[15] Eisenhart, a. a. O. (70) S. 273.
[16] R. K. [Berlin: Julius Springer, 1924], S. 176.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.