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Sur l’écart géodésique et quelques notions connexes. (French) JFM 53.0692.03

Zusammenstellung verschiedener Bemerkungen, die an die Arbeit “Sur l’écart géodésique” von Levi-Civita (Math. Ann. 97 (1926), 291-320; F. d. M. 52) anknüpfen. Zuerst wird die von Levi-Civita (1917; F. d. M. 46, 1125 (JFM 46.1125.*)) gegebene anschauliche Deutung des Riemannschen Krümmungstensors aus einer sehr einfachen Formel hergeleitet, welche den Unterschied der Variationen der Bogenlänge einer Kurve bei Riemannscher bzw. Euklidischer Metrik angibt. Eine weitere Anwendung derselben Formel führt zu Cliffords Parallelismus im elliptischen Raum.
Zweitens werden die kräftefreien Bewegungen eines mechanischen Systems von drei Freiheitsgraden beim Bestehen einer nicht-holonomen Bedingungsgleichung mit differential-geometrischen Methoden behandelt. Wichtigstes Ergebnis: der Übergang von einer Bahnkurve zu einer benachbarten kann niemals der Bedingungsgleichung gemäß erfolgen.
An dritter Stelle wird Levi-Civitas Methode des “écart géodésique” von den geodätischen Linien auf die Minimal-\(M_2\) in einem Riemannschen Raum ausgedehnt. Es ergibt sich die Verallgemeinerung einer aus der Theorie der zweiten Variation der Minimalflächen bekannten Formel von H. A. Schwarz. (VI 3.)

Citations:

JFM 46.1125.*
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