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Contribution à la géométrie conforme. Théorie des surfaces. I, II. (French) JFM 53.0700.04
Verf. gibt eine neue Begründung der konformen Flächentheorie, d. h. der Invariantentheorie der Flächen gegenüber der Gruppe der Möbius’schen Kugeltransformationen, mit der sich schon frühere Arbeiten von Tresse, Calapso, Thomsen u. a. beschäftigt haben.
Verf. verwendet die Methode der geometrischen (oder invarianten) Differentiationen, wie sie z. B. in dem Buch von Knoblauch (F. d. M. 44, 683 (JFM 44.0683.*)) dargestellt worden ist; die Anwendung dieser Methode auf die konforme Flächentheorie ist ausführlicher in dem inzwischen erschienenen Buch von Blaschke, Differentialgeometrie Bd. 3 (1928; F. d. M. 54) dargestellt worden.
Um diese Methode näher zu erläutern, stellt Verf. ein Kapitel voran, in dem ihre Anwendung auf die gewöhnliche bewegungsgeometrische Flächentheorie dargetan wird. Verf. behandelt dann die konforme Flächentheorie in pentasphärischen Koordinaten. Die geometrischen Ableitungen werden längs der Krümmungslinien genommen, und zwar bezieht sich die Ableitung auf die Winkelelemente konsekutiver Krümmungskugeln längs der Krümmungslinien. Dabei heißt Winkelelement der unendlich kleine Winkel solcher zwei konsekutiver Krümmungskugeln, die nicht zu der betreffenden Krümmungslinie, sondern zur andern Schar gehören.
Verf. bestimmt ein begleitendes pentasphärisches Koordinatensystem von fünf Orthogonalkugeln, die invariant mit der Fläche verbunden sind. Das gewählte System der Kugeln ist von vierter Ordnung in dem Punkt der Fläche; da es schon Orthogonalsysteme von fünf invarianten Kugeln gibt, die von dritten Ableitungen abhängen, ist es also nicht das niedrigste mögliche.
Es werden die zwei unabhängigen absoluten Invarianten dritter Ordnung und die fünf Invarianten vierter Ordnung bestimmt, ihre geometrische Deutung geschieht meist durch Quotienten von infinitesimalen Invarianten (von gewissen Winkeln konsekutiver Kugeln).
Es wird weiter gezeigt, daß im allgemeinen eine auf Krümmungslinien bezogene Fläche bis auf konforme Transformationen eindeutig bestimmt ist, wenn zwei gewisse Funktionen der Parameter \(u\) und \(v\) gegeben sind, die einem System zweier simultaner Differentialgleichungen fünfter Ordnung genügen. Eine Ausnahme bilden die Isothermflächen.
Es werden unter andern folgende speziellen Flächenklassen invariant charakterisiert: Die Flächen, die auf eine oder zwei Arten Orthogonalflächen einer Kugelschar sind, Flächen mit einer oder zwei Scharen sphärischer Krümmungslinien. Weiter werden gewisse Flächen untersucht, die eine eingliedrige Gruppe konformer Abbildungen in sich gestatten und solche mit einer zweigliedrigen Gruppe.
Für eine allgemeine Flächenkurve werden die Kugeln durch den Krümmungskreis untersucht, die zur Fläche senkrecht resp. tangential sind. Ebenso wird die Schmiegekugel bestimmt.
Die Arbeit schließt mit einer Untersuchung der Laplaceschen Gleichung, der die fünf pentasphärischen Koordinaten einer auf Krümmungslinien bezogenen Fläche genügen.

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