On the periodic motions of dynamical systems. (English) JFM 53.0733.03

Birkhoff, G. D.

Acta Math. 50, 359-379 (1927).

Die Sehnenzüge in einer geschlossenen konvexen Kurve, die an der Kurve nach dem gewöhnlichen Brechungsgesetz geknickt sind, also die Bahnen eines Balles auf einem konvexen Billard, bilden den Grenzfall der geodätischen Linien auf einer sehr flachen konvexen Scheibe, und für die Untersuchung ihres Verlaufes erweisen sich die Methoden als anwendbar, die von Poincaré und, an ihn anknüpfend, von Birkhoff für die Untersuchung des Verlaufes geodätischer Linien und der Bahnkurven bei allgemeineren dynamischen Problemen mit zwei Freiheitsgraden erfunden worden sind. Mit Hilfe des (früher von Birkhoff bewiesenen) “letzten geometrischen Theorems von Poincaré” wird gezeigt, daß es unendlich viele periodische Bahnen des Billardballes gibt, und es wird ihre Verteilung in der Gesamtheit aller Bahnen näher untersucht. – Ferner wird an einem anderen Beispiel gezeigt: Während es “im allgemeinen” auf Grund des genannten Poincaréschen Theorems in der Nähe jeder stabilen periodischen Bahn eines Systems von zwei Freiheitsgraden unendlich viele periodische Bahnen gibt, können in den “Ausnahmefällen”, in denen das Theorem nicht anwendbar ist, tatsächlich isolierte stabile periodische Bahnen vorkommen.

Reviewer: Hopf, H., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Mechanik. Kapitel 3. Statik und Dynamik.

References:

[1]	Sur un théorème de Géométrie, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 33, 1912.
[2]	An Extension of Poincarés Last Geometric Theorem, Acta Mathematica, vol. 47, 1926.
[3]	See my paper, ”Dynamical Systems With Two Degrees of Freedom”, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 18, 1917. It is assumed that the Lagrangian prineipal functionL is quadratic in the velocities.
[4]	See my paperOn the Restricted Problem of Three Bodies, Rendiconti del Circolo Matematieo di Palermo, vol. 39, 1915, and the paper of Poincaré cited above.
[5]	See my recentActa article (loc. cit.). By the index of an invariant point is meant the total changes in angular direction of a line joining a pointP to its imageP 1 whenP makes a small positive circuit of the invariant point.
[6]	See my paper in theRendiconti di Palermo, loc. cit. Rendiconti del Circolo Matematieo di Palermo, vol. 39, 1915, and the paper of Poincaré cited above.
[7]	See my earlier articleSurface Transformations and Their Dynamical Applications, Acta Mathematica, vol. 43, 1922.
[8]	See my earlierActa article. A system is transitive if motions can be found passing from nearly one assigned state to nearly any other arbitrarily assigned state. This property is probably satisfied ”in general{” by non-integrable dynamical systems.}