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Sopra una categoria di moti stazionari dei liquidi (pesanti) viscosi entro tubi cilindrici (rotondi) verticali. (Italian) JFM 53.0796.03
In den vorliegenden drei Noten, die drei Teile derselben Arbeit bilden, untersucht Verf. die Bewegungen einer zähen Flüssigkeit mit Symmetrieachse, ohne die Annahme einer \(langsamen\) Bewegung zu machen.
Zunächst findet Verf., indem er Zylinderkoordinaten \(r\), \(\varphi\), \(z\) einführt, deren Achse \(z\) die Symmetrieachse der Bewegung ist, daß die Strömungsfunktion \(\psi\) sich mit Hilfe der Formel \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill \psi=r\frac{\partial F}{\partial r} \hfill} \] ausdrücken läßt. Dabei bedeutet \(F\) eine der partiellen Differentialgleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad(2)} \hfill \frac{1}{r}\,\frac{\partial ^2F}{\partial r\,\partial z}\, \frac{\partial \varDelta_2F}{\partial r}+\frac{d}{dt} \biggl(\frac{\partial \varDelta_2F}{\partial r}\biggr) = \nu\,\frac{\partial \varDelta_4F}{\partial r}\hfill} \] genügende Funktion und \(\nu\) den Quotienten aus dem Zähigkeitskoeffizienten und der Dichte der Flüssigkeit.
Alsdann untersucht Verf. den Fall \[ \displaylines{\rlap{\qquad(3)} \hfill \frac{\partial ^2\,F}{\partial r\,\partial z}=0. \hfill} \] Bei Betrachtung der Bewegung der Flüssigkeit in einem vertikalen kreisförmigen Rohr wir d er auf den wohlbekannten Poiseuilleschen Fall, bei welchem u. a. die Projektion \(2\varOmega\) des Rotors der Geschwindigkeit eines Stromfadens auf eine parallele, geeignet orientierte Achse zu \(r\) proportional ist: \[ \displaylines{\rlap{\qquad(4)} \hfill \varOmega=-\alpha r,\;\;\alpha=\text{const.} \hfill} \] Diese Formel drückt jedoch nicht eine charakteristische Eigenschaft des Poiseuilleschen Falles aus; denn Verf. zeigt, daß sie auch noch bei solchen Bewegungen gültig ist, bei denen die Stromlinien nicht geradlinig sind wie im Poiseuilleschen Fall. Diese letzteren Bewegungen, die Verf. in der zweiten und dritten Note untersucht, werden beschrieben durch die Gleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad(5)} \hfill \varDelta_2F=\alpha r^2+\beta; \hfill} \] dabei bedeuten \(\alpha\) und \(\beta\) zwei Konstanten mit bemerkenswerten Eigenschaften, unter denen am interessantesten die folgende ist: Die “portata” drückt sich durch dieselbe Formel aus wie im Poiseuilleschen Falle, d. h. durch die Formel \[ \displaylines{\rlap{\qquad(6)} \hfill Q=\frac{\pi R^4}{8\mu l}\,(p_1-p_2), \hfill} \] wobei \(R\) den Radius des Rohrquerschnitts, \(l\) die Rohrlänge, \(\mu\) den Zähigkeitskoeffizienten und \(p_1-p_2\) die Druckdifferenz an den Enden der Rohrachse bedeutet.

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