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Über nicht kombinierende Terme in der neueren Quantentheorie. II. (German) JFM 53.0855.01

Die von Heisenberg (Z. f. Physik 38 (1926), 411-426 ; F. d. M. 52) aufgefundene quantenmechanische Resonanzerscheinung und der durch sie bewirkte Zerfall der Zustände eines Mehrkörperproblems, das aus absolut gleichen Teilchen besteht, in eine Reihe von nicht miteinander kombinierenden Termsystemen wird mit einer sehr dem Wesen der Sache angemessenen gruppentheoretischen Methode studiert.
Infolge der absoluten Gleichheit der Elektronen genügt das quantenmechanische Eigenwertproblem von \(n\) gleichen Partikeln der Permutationsgruppe: Außer einer Lösung \(\varPsi(E)\) gehören zu dem betreffenden Eigenwert noch sämtliche Lösungen \(\varPsi (P)\), welche aus \(\varPsi (E)\) durch Anwendung der \(n!\) Permutationen \(P\) hervorgehen. Im allgemeinen sind die so entstehenden \(n!\) Lösungen \(\varPsi (P)\) nicht voneinander unabhängig, sondern lassen sich aus einer geringeren Anzahl \(f\) unabhängiger Funktionen \(\varPsi_1\), \(\varPsi_2\), \(\ldots\), \(\varPsi_f\) linear zusammensetzen. Die Ausübung einer Permutation \(P\) auf die \(\varPsi_K\) stellt sich also jedenfalls dar als eine lineare Transformation der \(\varPsi_K\) untereinander: \[ P\varPsi_\varkappa =\sum_{l=1}^f a_{\varkappa l}^P \varPsi_l, \] wobei die Matrizen \(a_{\varkappa l}^P\) sich wie die Elemente der Gruppe zusammensetzen: \[ \sum_{\varkappa=1}^f a_{i\varkappa }^P a_{\varkappa l}^R =a_{\,\, il}^{PR}. \] Sie bilden eine \(f\)-dimensionale Darstellung der symmetrischen Gruppe, und zwar zeigt es sich, daß diese Darstellung unitär und im allgemeinen irreduzibel ist – im allgemeinen, das soll heißen, wenn nicht eine zufällige Entartung vorliegt.
Physikalisch liegt nun häufig der speziellere Fall vor, daß man gewöhnlich in erster Näherung von der Wechselwirkung der Partikel zunächst absieht. Dann ist eine Lösung \(\varPsi(E)\) einfach das Produkt der Eigenschwingungen \(\psi (\mathfrak r_1)\), \(\varphi(\mathfrak r_2)\), \(\ldots\), \(\chi(\mathfrak r_n)\) der isoliert behandelten einzelnen Partikel, also \[ \varPsi(E)=\psi(\mathfrak r_1)\varphi(\mathfrak r_2)\ldots\chi(\mathfrak r_n), \] und in diesem speziellen Fall sind sämtliche \(n!\) Funktionen \(\varPsi (P)\) voneinander unabhängig. Die \(n!\)-dimensionale Darstellung der symmetrischen Gruppe, die sich dieser Funktionen als Vektorgebilde bedient, ist als sogen. “reguläre Darstellung” in der Gruppentheorie genau untersucht. Sie ist durchaus nicht irreduzibel. Ihre irreduziblen Bestandteile sind diejenigen, in welche die Eigenlösungen zerfallen, wenn die zufällige Entartung aufgehoben wird, indem die Wechselwirkung zwischen den gleichen Partikeln nachträglich berücksichtigt wird. In welche irreduziblen Bestandteile ein Zustand zerfällt, läßt sich aus den grundlegendsten Sätzen der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe von Frobenius und I. Schur entnehmen, und man gewinnt so eine äußerst präzise und vollständige Übersicht über die Gesamtheit der Zustände, welche nach der Quantenmechanik einem System von \(n\) gleichen Partikeln zukommen. Von physikalischem Interesse ist vor allem der Nachweis, daß Zustände, welche zu verschiedenen irreduziblen Darstellungen gehören, nicht miteinander kombinieren, d. h. auf keine Weise – weder durch Stoß noch durch spontanen Quantensprung, noch durch Einstrahlung – ineinander übergeführt werden können.

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