×

zbMATH — the first resource for mathematics

Le principe de correspondance déduit de la gravifique et la mécanique ondulatoire. (French) JFM 53.0873.07
\[ \mathit{Die fünfdimensionale Welt.} \]
Im Jahre 1921 wies Kaluza (F. d. M. 48; 1032, 1327) auf eine neue Möglichkeit hin, die Verknüpfung zwischen Gravitation und Elektromagnetismus im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie herzustellen, nämlich durch Einführung einer fünften Weltdimension \(x^0\). Die fünfdimensionalen Potentiale \(\gamma_{\mu\nu}\) (die griechischen Indices laufen von 0 bis 4, die lateinischen von l bis 4) müssen als Funktionen der Gravitationspotentiale \(g_{ik}\) und des elektromagnetischen Viererpotentials \(\varphi_i\) so ausgedrückt werden, daß die Weltlinie eines geladenen Massenpunktes eine fünfdimensionale geodätische Linie wird. Man findet folgende Metrik: \[ \begin{matrix} & \l \\ \gamma_{ik} & = g_{ik} - 2\chi \varphi_i \varphi_k, \\ \gamma_{0i} & = \gamma_{i0} = - \xi \alpha\varphi_i, \\ \gamma_{00} & = - \xi ; \end{matrix} \] dabei sind \(\xi\), \(\alpha\), \(\chi\) universelle Konstanten, und zwar ist \[ 2\chi = \xi \alpha^2 \] die Gravitationskonstante.
Die bei dieser speziellen Wahl der \(\gamma_{\mu\nu}\) noch erlaubten Koordinatentransformationen haben die Form \[ \begin{matrix} & \l \\ x^0 & = x^{0^\prime} + f_0(x^{1^\prime}, x^{2^\prime}, x^{3^\prime}, x^{4^\prime}), \\ x^i & = f_i (x^{1^\prime}, x^{2^\prime}, x^{3^\prime}, x^{4^\prime}). \end{matrix} \]
Es zeigt sich, daß man die Feldgleichungen für die Gravitationspotentiale \(g_{ik}\), die Maxwellschen Gleichungen und die Schrödingersche Gleichung aus einem einzigen Variationsprinzip ableiten kann, indem man nach den \(\gamma_{\mu\nu}\) (ausgenommen \(\gamma_{00}\)) und den Wellenfunktionen \(\Psi\) und \(\overline\Psi\) (komplex konjugierte von \(\Psi\)) unabhängig variiert. Das Variationsprinzip lautet \[ \delta \int (P + 2\chi L) \, \sqrt{-g} \, dx^0 dx^1 \dots dx^4 = 0, \] wobei \(P\) die fünfdimensionale Krümmung, \(g\) die Determinante der \(g_{ik}\) bezeichnet und \(L\) durch \[ L = \gamma^{\mu\nu} \frac{\partial \Psi}{\partial x^\mu} \, \frac{\partial \overline\Psi}{\partial x^\nu} - \frac{4\pi^2}{h^2} \left(m^2 c^2 - \frac{e^2}{c^2} \cdot \frac{1}{2\chi}\right) \Psi \overline\Psi \] definiert ist.
Die fünfdimensionale Form des “Materietensors” ergibt sich somit als \[ T_{\mu\nu} = \frac{\partial \Psi}{\partial x^\mu} \, \frac{\partial \overline\Psi}{\partial x^\nu} + \frac{\partial \overline\Psi}{\partial x^\mu}\, \frac{\partial \Psi}{\partial x^\nu} - \gamma_{\mu\nu} L; \] speziell ist der Ausdruck für den Stromvektor \(T_0^i\) eine Verallgemeinerung des Gordonschen Ansatzes.
Um diese Deutung von \(T_{\mu\nu}\) als Materietensor zu rechtfertigen, muß noch gezeigt werden, daß dieser Tensor einem Erhaltungssatz (Vereinigung der Erhaltungssätze des Energie-Impuls-Tensor und des elektrischen Stromvektors) genügt. Das beweist man leicht auf Grund der Hilbertschen Hauptidentitäten unter Benutzung der Schrödingerschen Gleichung. (“Verträglichkeitssatz”, vgl. Rosenfeld, 3. Mitteilung.) Der Materietensor läßt auch eine hydrodynamische Deutung zu. Aber die übrigens nur für das Einkörperproblem durchführbare Theorie dürfte nach jetziger Ansicht des Ref. lediglich als formale Zusammenfassung der allgemeinen Relativität und der Quantenmechanik (ohne Berücksichtigung des Elektronenspins) Interesse beanspruchen.
PDF BibTeX XML Cite