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Über eine Verallgemeinerung der Bernoullischen und Eulerschen Polynome. (Czech. French summary) JFM 54.0124.01
Die Polynome \(I_{\nu,\omega}^{(n)} (x\mid\omega_1,\dots,\omega_n)\) werden durch die Formel \[ (1+\omega t)^{\frac x \omega} \prod_{k=1}^n \frac{2}{(1+\omega t) \frac{\omega_k}{\omega}+1} = \sum_{\nu=0}^\infty \frac{t^\nu}{\nu !} I_{\nu,\omega}^{(n)} (x\mid\omega_1,\dots,\omega_n) \] eingeführt. Funktionalgleichungen: \[ \begin{aligned} \mathop\bigtriangledown_{\omega_1 \dots \omega_n}^n I_{\nu,\omega}^{(n)}(x) &= x(x-\omega) \cdots (x-\nu \omega+\omega),\;\text{wobei}\;\mathop\bigtriangledown_\omega f(x)=\frac{f(x+\omega)+f(x)}{2};\\ \mathop\triangle_\omega^p I_{\nu,\omega}^{(n)}(x)& = \nu(\nu-1) \cdots (\nu-p+1) I_{\nu-p,\omega}^{(n)} (x), \;\mathop\triangle_\omega f(x)=\frac{f(x+\omega)f(x)}{\omega}.\end{aligned} \] Rekursive Formel. Erweiterung der Definition für \(n<0\). Für \(\omega \to 0\) bekommt man die Euler-Nörlundschen Polynome. Analog werden Polynome eingeführt, die im Grenzfall \(\omega \to 0\) die Bernoulli-Nörlundschen Polynome liefern (vgl. N. E. Nörlund: Acta Mat. 43 (1920), 121-196; F. d. M. 47, 216-218). (IV 11.)
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