×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über unendliche Gruppen mit endlicher Kette. (German) JFM 54.0148.03
Es handelt sich um das Problem, aus der Menge aller unendlichen Gruppen durch passende Definition solche Klassen herauszugreifen, daß in ihnen möglichst weitgehend die Fundamentalsätze der Theorie der endlichen Gruppen gültig sind. Verf. definiert die “verallgemeinerten endlichen Gruppen” (v. e. G.) oder “Gruppen mit endlicher Kette” als solche, bei denen keine invariante Untergruppe Erzeugende einer unendlichen Kette von invarianten Unter- (oder Obergruppen) sein kann. Aus dieser Definition folgt sofort, daß alle Kompositionsreihen eine endliche Länge haben, und daß der Jordansche Satz sich übertragen läßt. Die um Eins vermehrte Länge der Kompozitionsreihe wird “Kompositionszahl” genannt, und es zeigt sich, daß jede echte invariante Untergruppe eine kleinere Kompositionszahl als die v. e. G. selbst hat. Ist die Gruppe das direkte Produkt zweier v. e. G., so stellt sich ihre Kompositionszahl als Summe der Kompositionszahlen der Faktoren dar. Auf Grund dieser Bemerkung und auf Grund von drei weiteren einfachen Hilfssätzen ergibt sich der “Fundamentalsatz”: Läß t eine v. e. G. zwei verschiedene Darstellungen als Produkt unzerlegbarer Faktoren zu, so ist die Anzahl der Faktoren in beiden Fällen dieselbe; die Faktoren sind paarweise zentral isomorph, und in jedem Produkt kann jeder Faktor durch einen zentral isomorphen des andern Produktes ersetzt werden. Der Beweis wird durch Induktion nach der Kompositionszahl der v. e. G. geführt. – Zwei Untergruppen der v. e. G. werden “zentralisomorph” genannt, wenn jeweils ein Element der einen Untergruppe durch Multiplikation mit einem Element des Zentrums der v. e. G. in das zugeordnete Element der anderen Untergruppe übergeht.

MSC:
20E15 Chains and lattices of subgroups, subnormal subgroups
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML