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Die Automorphismen der projektiven Gruppen. (German) JFM 54.0149.02
Ist \(\mathfrak K\) ein beliebiger Körper, \(R_n({\mathfrak K})\) der projektive \(n\)dimensionale Raum, so zeichne \(\tilde{ \mathfrak P}_n({\mathfrak K})\) die projektive Gruppe in \(R_n(\mathfrak K)\), d. h. die Gruppe der nichtsingulären Transformationen \[ x_i'=\sum_{k=0}^n a_{ik}x_k \quad (i=0,1,\ldots,n) \] mit Koeffizienten aus \(\mathfrak K\), wobei es bloß auf die Verhältnisse der Koeffizienten \(a_{ik}\) ankommt. Die Gruppe derjenigen Transformationen, deren Determinante bei geeigneter Wahl des willkürlichen konstanten Faktors den Wert 1 hat, die unimodulare projektive Gruppe, werde mit \({\mathfrak P}_n({\mathfrak P})\) bezeichnet. Es wird die Aufgabe behandelt, alle Automorphismen dieser Gruppe \({\mathfrak P}_n({\mathfrak K})\) aufzustellen. Es wird gezeigt, daß man jeden Automorphismus in der Form \(S \to CSC^{-1}\) erhalten kann, wo \(C\) eine beliebige Kollineation oder Korrelation des \(R_n({\mathfrak K})\) bedeutet; umgekehrt stellt jede solche Zuordnung natürlich immer einen Automorphismus dar. Unter Kollineationen sind dabei für \(n \geqq 2\) die eineindeutigen Punkttransformationen des \(R_n({\mathfrak K})\) zu verstehen, bei denen Hyperebenen in Hyperebenen übergehen; für \(n=1\) ist die Definition in naturgemäßer Weise zu ergänzen.
Ist speziell \(\mathfrak K\) ein Galois-Feld, \({\mathfrak P}_n({\mathfrak K})\) also eine der bekannten (abgesehen von zwei Ausnahmefällen einfachen) Gruppen, so ergibt sich, daß die Faktorgruppe der ganzen Automorphismengruppe durch die Gruppe der inneren Automorphismen stets auflösbar ist.
Weiter wird gezeigt, daß zwei Gruppen \({\mathfrak P}_n({\mathfrak K})\) niemals isomorph sind, wenn die Dimensionszahlen \(n\) verschieden sind oder sie zu nicht isomorphen Körpern \(\mathfrak K\) gehören. Dabei sind zwei Ausnahmefälle, bei denen \(\mathfrak K\) ein Galois-Feld ist, außer acht zu lassen. Die Ausnahmefälle sind übrigens bereits bei Dickson (Linear Groups) angegeben. Schließlich wird gezeigt, daß die alternierende Gruppe von \(n\) Elementen nur für \(n = 4,5,6,8\) mit einer unimodularen projektiven Gruppe isomorph ist.
Erwähnt sei noch, daß als Hilfsmittel die von Krull (Sitzungsberichte Heidelberg 1926, 1. Abh.; F. d. M. 52) angegebenen Normalformen für lineare Transformationen mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper (Elementarteilertheorie) verwendet werden; sie werden auf mehr geometrischem Wege hergeleitet.

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