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Über eindeutige Zerlegung in Primelemente oder in Primhauptideale in Integritätsbereichen. (German) JFM 54.0158.03

Verf. stellt sich die interessante Aufgabe, hinreichende oder notwendige Kriterien dafür anzugeben, daßin einem Integritätsbereich \(\mathfrak I\) jedes Element eindeutig in Primelemente zerlegbar ist resp. die schärfere Forderung erfüllt ist, daßjedes Ideal Hauptidealist, also für jedes Ideal Zerlegung in Primhauptideale möglich ist. Diese Problemstellung knüpft an eine Arbeit von E. Noether (Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionskörpern; Math. Ann. 96 (1926), 26-61: F. d. M. 52) an, in welcher in Form von 5 Axiomen die notwendigen und hinreichenden Kriterien dafür angegeben werden, daßin einem kommutativen Ring \(\operatorname{Re}\) jedes vom Null- und Einheitsideal verschiedene Ideal eindeutig in ein Produkt von Primidealen zerlegbar ist.
Die Kriterien des Verf. lassen sich so aussprechen, daßdie Existenz einer reellwertigen Funktion für die Elemente von \(\mathfrak I\) postuliert wird, die außer den Eigenschaften \[ \begin{aligned} (1)\quad &\chi(\alpha)\geqq 0\;\text{für jedes}\;\alpha\;\text{aus}\;\mathfrak I\;\text{und}\;=0\;\text{nur für}\;\alpha=0\\ (2)\quad &\chi(\alpha \beta)=\chi(\alpha) \chi(\beta)\end{aligned} \] noch die folgenden zwei weiteren Eigenschaften besitzt; \[ \begin{aligned} (3)\;&\text{die Zahlen}\;\chi(\alpha)\;\text{besitzen keine Häufungsstelle im Endlichen},\\ (4)\;&\text{wenn}\;\chi(\alpha) \geqq \chi(\beta),\;\text{so gibt es zwei Elemente}\;\mu\;\text{und}\;\nu\;\text{in}\;\mathfrak I,\;\text{so daß}\end{aligned} \]
\[ \chi(\nu \alpha-\mu \beta)<\chi(\alpha) \] ist. Aus diesen Postulaten folgt sehr leicht, daßfür alle \(\alpha \neq 0\) \(\chi(\alpha) \geqq 1\) ist, \(\chi(\eta)=1\) dann und nur dann, wenn \(\eta\) eine Einheit ist, und schließlich, daßdie Eigenschaft (4) verschärft werden kann in \[ \chi(\nu \alpha-\mu \beta)<\chi(\beta). \] Verf. weist nun schrittweise nach, daßdie Existenz einer derartigen Funktion \(\chi\)
I. hinreichend dafür ist, daßin \(\mathfrak I\) Zerlegung in Primelemente möglich ist,
II. daßdarüber hinaus diese Bedingung hinreichend dafür ist, daßin \(\mathfrak I\) Zerlegung in Primhauptideale gilt,
III. daßdiese Bedingung auch notwendig für Zerlegung in Primhauptideale ist.
Damit ist gleichseitig schon gezeigt, daßdie Bedingung nicht auch notwendig dafür sein kann, daßZerlegung in Primelemente möglich ist, weil es Integritätsbereiche gibt, in denen Zerlegung in Primelemente gilt, nicht aber Zerlegung in Primhauptideale, z. B. den Integritätsbereich der Polynome in mehreren Unbestimmten mit Koeffizienten aus einem Körper.
Unter speziellen Voraussetzungen über \(\mathfrak I\) gelingt dagegen der Nachweis, daßdie Bedingung der Existenz einer solchen Funktion \(\chi\) auch notwendig für die Zerlegung in Primelemente ist, speziell auch dafür, daßein algebraischer Zahlkörper endlichen Grades die Klassenzahl 1 besitzt. (III 7.)

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Full Text: DOI Crelle EuDML