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Die beiden Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz der \(l^n\)-ten Potenzreste im Körper der \(l^n\)-ten Einheitswurzeln. (German) JFM 54.0191.05
In dieser Arbeit geben die Verf. den Beweis für die beiden Ergänzungsaätze für das \(l^n\)-te Potenzrestsymbol im Körper der \(l^n\)ten Einheitswurzeln (\(n \geqq 2\) für \(l=2\)) in ganz analoger Form wie in den früheren Arbeiten von H. Hasse (J. f. M. 154 (1925), 96-109; F. d. M. 51, 143) und E. Artin und H. Hasse (J. f. M. 154 (1925), 143-148; F. d. M. 51, 143) für das \(l\)-te Potenzrestsymbol, nämlich in der Gestalt \[ \begin{aligned} \left( \frac{\zeta_n}{\alpha} \right)&=\zeta_n^{\frac{1}{l^n} S_n(\log \alpha)} \quad \text{für}\;l \neq 2,\\ & =\zeta_n^{(1+2^{n-1})\frac{1}{2^n} S_n(\log \alpha)} \;\text{für}\;l=2,\\ \left( \frac{\lambda_n}{\alpha} \right)&=\zeta_n^{\frac{1}{l^n} S_n \left( \frac{\zeta_n}{\lambda_n} \log \alpha \right)} \;\text{für}\;\alpha \equiv 1(\lambda_n).\end{aligned} \] Dabei bedeutet \(\zeta_n\) eine primitive \(l^n\)-te Einheitswurzel, \(\lambda_n=1\zeta_n\) \[ \log \alpha=-\sum_{\nu=1}^\infty \frac{(1-\alpha)^\nu}{\nu} \] den Logarithmus von \(\alpha\) im \(l\)-adischen Sinn, \(S_n\) die Spur im Körper \(k_n\).
Der Beweis des ersten Ergänzungssatzes gelingt in verhältnismäßig einfacher Weise.
Ziemlich groß e rechnerische Schwierigkeiten bereitet dagegen der Beweis des zweiten Ergänzungssatzes. Das wesentlichste Hilfsmittel für den Beweis in diesem Fall ist die Konstruktion einer geeigneten multiplikativen Basis, indem an Stelle der bekannten Basis \[ (1)\quad 1-\lambda_n^\alpha;\quad 1 \leqq a \leqq l^n,\;(a,l)=1 \;\text{und}\;a=l^n \] eine Basis \[ (2)\quad \tau_a; \;1 \leqq a \leqq l^n,\;(a,l)=1 \;\text{und}\;a=l^n \] konstruiert wird, wo die \(\tau_a\) durch ihre Logarithmen \[ \log \tau_a=-\sum_{\nu=0}^\infty \frac{\lambda_n^{al^\nu}}{l^\nu} \] definiert sind und sich durch die Basiselemente von (1) durch konvergente unendliche \(l\)-adische Produkte darstellen lassen, und \[ \tau_a \equiv 1\lambda_n^a (\mod\lambda_n^{a+1}) \] gilt.

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