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On the class-number of the corpus \(P(\sqrt {-k})\). (English) JFM 54.0206.02
Von Landau stammt die wesentliche Entdeckung, daß viele Resultate bezüglich \(\zeta(\sigma+it)\) bei großem \(t\) und festem \(\sigma\) sich entsprechend für die Funktionen \(L(s)\) bei großem \(k\) und festem \(s\) formulieren lassen. Dem Resultate über das asymptotische Verhalten von \(\zeta(1+it)\) bei großem \(t\) werden hier analoge Resultate über \(L(s)\) an die Seite gestellt.
Es gilt bei Annahme der Riemannschen Vermutung über \(L(s)\):
Ist \(\chi\) ein reeller nicht-Hauptcharakter mod \(k\), dann ist für \(k \to \infty\) \[ \frac{1+o(1)}{2b \log \log k}<L(1)<(1+o(1)) 2c \log \log k. \] Es wird \(k^*\) für ein \(k\) geschrieben, wenn \(-k\) eine Zahl \(\equiv 0\) oder \(1\bmod 4\) ist derart, daß für kein \(Q>1\), \(-k=Q^2 \cdot k'\) und \(k' \equiv 0\) oder \(1 \bmod 4\) sein kann. \[ \chi^*(n)=(-k^*\mid n) \;(\text{Kronecker-Symbol}),\;L^*(s)=L(s,\chi^*). \] Dann gilt bei entsprechender Riemannscher Annahme: es gibt beliebig große \(k^*\) mit \[ L^*(1)>(1+o(1)) c \log \log k^* \] und weitere mit \[ L^*(1)<\frac{1+o(1)}{b \log \log k^*}. \] Für \(k>4\) ist die Klassenzahl des Körpers \(P(\sqrt{-k})\) durch \[ h=\frac{\sqrt k}{\pi}L^*(1) \] gegeben, womit die zahlentheoretischen Auswirkungen klar werden.

MSC:
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R11 Quadratic extensions
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