Leçons sur les séries divergentes. 2. éd. revue et entièrement remaniée avec le concours de G. Bouligand. (French) JFM 54.0223.01

Borel, Emile

Collection de monographies sur la théorie des fonctions. Paris: Gauthier-Villars. iv, 260 pp. (1928).

Die erste Auflage ist 1901 erschienen (F. d. M. 32, 248 (JFM 32.0248.*)-253).
Aus dem Vorwort zur zweiten Auflage: “Seit dem Erscheinen der ersten Auflage sind so zahlreiche und wichtige Arbeiten über die divergenten Reihen erschienen, daßes sich als notwendig erwiesen hat, das vorliegende Werk umzuarbeiten und zu vervollständigen. Ich bin Herrn Bouligand zu herzlichstem Dank dafür verpflichtet, daßer mir bei dieser Aufgabe seine unschätzbare Hilfe zur Verfügung gestellt hat. Dank dieser Hilfe finden die Leser nun nicht nur einige Hauptsätze der Theorie der divergenten Reihen, sondern auch einen Bericht über die neuesten Arbeiten und Literaturangaben, durch die sie sich über die modernen Untersuchungen orientieren können. Wir hoffen daher, daßdiese neue Auflage den Aufgaben angemessen ist, die alle Werke der vorliegenden Sammlung im Auge haben: den Mathematiker so rasch wie möglich mit dem gegenwärtigen Stand einer Disziplin vertraut zu machen und ihn zu neuen eigenen Untersuchungen instand zu setzen.”
Inhaltsverzeichnis: Einleitung Geschichtliches und Allgemeines Die divergenten Reihen vor Abel und Cauchy. Die Arbeiten von Cauchy. Die divergenten Reihen seit Cauchy. Kap. I. Die asymptotischen Reihen Cauchy und die Stirlingsche Reihe. Die Theorie von H. Poincaré. Ausdehnung auf das komplexe Gebiet Anwendungen auf Differentialgleichungen. Kap. II. Die Kettenbrüche und die Theorie von Stieltjes: Die Verwandlung divergenter Reihen in Kettenbrüche. Die Abhandlung von Stieltjes. Die Verallgemeinerung der Theorie von Stieltjes. Kap. III. Die Theorie der summierbaren Reihen: Einige vorbereitende Bemerkungen Einiges aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. Auf Mittelbildungen begründete Methoden: Cesàrosche und Höldersche Mittel. Vergleichende Untersuchung der verschiedenen Summationsverfahren durch Mittelbildung: Exponentielle Summationsverfahren. Anwendung auf Differentialgleichungen. Kap. IV. Die summierbaren Reihen und die analytische Fortsetzung: Das Summierbarkeitspolygon. Einfache Verallgemeinerungen des exponentiellen Verfahrens. Die Untersuchung der singulären Punkte. Kap. V. Die Entwicklungen in Reihen von Polynomen: Das Mittag-Lefflersche Theorem. Die Anwendung des Cauchyschen Integrals. Die MittagLefflerschen Entwicklungen und die allgemeine Theorie der divergenten Reihen. Schluß. Kap. VI (Anhang). Die moderne Entwicklung der Theorie der divergenten Reihen: Die Dirichletschen Reihen und das Verfahren von Marcel Riesz. Die Fakultätenreihen, das Laplace-Abelsche Integral und die exponentielle Summation.
Den Abschlußdes Buches bilden zwei Noten von G. Bouligand: Vergleich der Wirksamkeit der Summationsverfahren durch Mittelbildung vom Standpunkt der analytischen Fortsetzung. Aufgaben und verschiedene Ergebnisse. (IV 4.)
Besprechungen: C. N. Moore; Bulletin A. M. S. 35 (1929), 875-876.

Reviewer: Feigl, G., Dr. (Berlin)

MSC:

40Axx	Convergence and divergence of infinite limiting processes
40-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to sequences, series, summability

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 2. Theorie der unendlichen Zahlenfolgen.

Citations:

JFM 32.0248.*