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Über lineare Limitierungsverfahren. (German) JFM 54.0235.01

Hier werden über die Beziehungen der Konvergenzfelder linearer Limitierungsverfahren einige sehr schöne Sitze bewiesen. Insbesondere werden (Satz 4) notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angegeben, daß das Konvergenzfeld eines dieser Verfahren in dem eines anderen enthalten ist, – wenigstens für den Fall, daß das erste ein normales Verfahren ist, d. h. daß in der Matrix \((a_{pq})\) alle Diagonalglieder \(a_{pp} \neq 0\) sind und rechts von der Diagonale lauter Nullen stehen. Die Bedingungen selbst hier aufzuführen, würde zu weit führen.
Im Anschluß hieran wird an einem Beispiel gezeigt, daß es normale permanente Verfahren gibt (Satz 6), deren Konvergenzfelder identisch sind, die aber doch gewisse Folgen zu verschiedenen Werten limitieren. Unter gewissen einschränkenden Voraussetzungen dagegen (z. B. bei Beschränktheit der Folgen) kann dies nicht eintreten (Satz 7 und 8).
Endlich wird die Frage aufgeworfen, ob sich zwischen zwei vergleichbare Verfahren immer ein drittes einschalten läßt, und hierzu der folgende überraschende Satz 12 bewiesen: Zu jedem normalen Verfahren \(A\) läß t sich ein ebensolches Verfahren \(B\) konstruieren, das die beiden Eigenschaften besitzt, daß
(1) das Konvergenzfeld des \(B\)-Verfahrens dasjenige des \(A\)-Verfahrens als echte Teilmenge umfaßt, und daß
(2) kein drittes Verfahren existiert, dessen Konvergenzfeld als echte Teilmenge in dem des \(B\)-Verfahrens enthalten ist und zugleich dasjenige des \(A\)Verfahrens als echte Teilmenge enthält.

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