×

zbMATH — the first resource for mathematics

A theorem concerning the summability of series by Borel’s method. (English) JFM 54.0237.01
Verf. gibt einen direkten und elementareren Beweis für R. Schmidts “tauberian theorem” für Reihen mit reellen Gliedern welche nach der Borelschen Exponentialmethode summierbar sind. Der die Folgerung \(s_n \to s\) aus den beiden Voraussetzungen \[ \begin{aligned} (1)\quad &\lim_{x \to \infty} e^{-x} \sum_{n=0}^\infty \frac{s_nx^n}{n!}=s,\\ (2)\quad &\underline{\lim_{m>n \to \infty}} (s_m-s_n) \geqq 0\end{aligned} \] zu, bei denen \(m\) und \(n\) so gegen unendlich gehen, daß \[ m-n=o(n^{\frac 12}) \] ist. Der Grenzwert \(s\) wird als endlich vorausgesetzt.
Verf. zeigt zunächst, daß aus den genannten Voraussetzungen \[ s_n=O(1) \] folgt. Auf Grund eines Satzes von Hardy und Littlewood ergibt sich daher \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{t^2}{2x}} s(t+x)dt=s; \] dabei ist \[ s(y)=s_{[y]}\;\text{für}\;y \geqq 0 \;\text{bzw.}\;s(y)=0 \;\text{für}\;y<0. \] Der Schmidtsche Satz wird dann durch Umformung dieses Integrals und Anwendung eines weiteren Lemmas von Hardy und Littlewood bewiesen.

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 2. Theorie der unendlichen Zahlenfolgen.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI