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Über die mehrmalige gliedweise Differentiation unendlicher Reihen und Integrale. (German) JFM 54.0255.01
Der klassische Satz über die einmalige gliedweise Differentiation unendlicher Reihen ist von E. Landau (1917; F. d. M. 46, 429 (JFM 46.0429.*)) in folgender Weise verallgemeinert worden: Auf dem Intervall \(a < x < b\) seien die reellen Funktionen \(f_1(x),f_2(x),\dots\) differenzierbar. Ferner sei dort \(\sum f_\nu(x)\) konvergent, \(=F(x)\) und \(\sum f_\nu^{(k)}(x)\) gleichmäßig konvergent. Dann ist \(F(x)\) im Intervall \(k\)-mal differenzierbar und \(F^{(k)}(x)=\sum f_\nu^{(k)}(x)\). Verf. teilt zunächst für den Landauschen Satz einen anderen Beweis mit, bei dem aus der gleichmäßigen Konvergenz der \(k\)-mal differenzierten Reihe diejenige der \(k-1,k-2,\ldots\), 1-mal differenzierten Reihe folgt, und diskutiert alsdann die Übertragung auf Funktionen von mehreren Veränderlichen. Er betrachtet Reihen von Funktionen \(f_\nu(x,y)\), die in dem Rechteck \(a < x < b\), \(c < x < d\) von der Reihenfolge der Differentiationen unabhängige Ableitungen \[ \frac{\partial^{k+l}f_\nu}{\partial x^k \partial y^l}=f_\nu^{(kl)}(x,y) \] besitzen. An einem Beispiel wird zunächst gezeigt, daß bei Konvergenz der Reihe \[ \sum f_\nu(x,y)=F(x,y) \] und gleichmäßiger Konvergenz der Reihe \(\sum_\nu f_\nu^{(kl)}(x,y)\) jede der Reihen \[ \sum_\nu^{\kappa \lambda)}(x,y), 0 \quad\leqq \kappa <k,\;0 \leqq \lambda <l \] im Rechteck fast überall divergieren kann, und daß bereits die Ableitungen \(F^{(10)}(xy),F^{(01)}(x,y)\) nirgends zu existieren brauchen Verf. beweist alsdann, daß unter den genannten Voraussetzungen die partielle Ableitung \(F^{(kl)}(x,y)\) überall dort, wo sie bei irgendeiner vorgeschriebenen Reihenfolge der Differentiationen existiert, unabhängig von derselben den Wert \(\sum f_\nu^{(kl)}(x,y)\) besitzt, und daß man diese zusätzliche Voraussetzung der Existenz von \(F^{(kl)}(x,y)\) auch durch gewisse Voraussetzungen über die gleichmäßige Konvergenz der Reihen \(\sum_\nu f_\nu^{(k0)}(x,y),\sum_\nu^{(0l)}(x,y)\) ersetzen kann.
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