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Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives. 2ième éd. (French) JFM 54.0257.01
Collection de monographies sur la théorie des fonctions. Paris: Gauthier-Villars. xv, 342 p. (1928).
Seit dem Erscheinen der ersten Auflage “Leçons sur l’intégration” (1904; JFM 35.0377.01) hat die Theorie der reellen Funktionen, speziell der Verallgemeinerungen des Riemannschen Integralbegriffs, bedeutende Fortschritte gemacht. Dieser Tatsache trägt die vorliegende zweite Auflage weitgehend Rechnung. Die mit dem Lebesgueschen Integralbegriff zusammenhängenden Fragen, deren Behandlung nur ein kleiner Teil der ersten Auflage gewidmet war, stehen jetzt durchaus im Vordergrund.
Das Buch beschränkt sich auch in der vorliegenden Auflage auf die Behandlung der linearen Punktmengen und der Funktionen einer Veränderlichen. Die ersten sechs Kapitel, die die mit der Riemannschen Integration zusammenhängende Theorie entwickeln, sind im wesentlichen unverändert geblieben, ebenso das siebente Kapitel, in dem das Lebesguesche Integral axiomatisch und konstruktiv definiert und auf das Lebesguesche Maß zurückgeführt wird. Die weiteren Kapitel jedoch sind neu. Kap. VII behandelt das unbestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze im Rahmen der additiven Mengenfunktionen und den Begriff der Totalstetigkeit, Kap. VIII den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral, den Begriff der Dichte und die Rektifikation. In Kap. IX wird die Totalisation eingeführt und im Zusammenhang mit der Ableitung untersucht, in Kap. X wird das Stieltjessche Integral im Sinne des Lebesgueschen und im Sinne der Totalisation verallgemeinert und vom Gesichtspunkt der linearen Funktionale aus gedeutet. Ein Anhang behandelt die Bildung der Ableitung einer Menge, die Verwendung der transfiniten Ordinalzahlen bei der Iteration dieses Prozesses und prinzipielle Fragen bezüglich der transfiniten Induktion. (IV 3 C.)
Besprechungen: Boll. Un. Mat. Ital. 8 (1929), 108-109. Bull. Sci. Math. 53 (1929), 33-36; Mathesis 42 (1928), 384-385; T. H. Hildebrandt, Bull. Am. Math. Soc. 36 (1930), 463-468.

MSC:
26-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to real functions
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
26A45 Functions of bounded variation, generalizations