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Sull’integrazione delle funzioni discontinue. (Italian) JFM 54.0271.01

Ist \(F\) eine in einem Bereiche \(R\) definierte Funktion, welche auf einer abgeschlossenen Punktmenge \(I\) stetig sein möge, so läßt sich bekanntlich auf unendlichviele Weisen eine Funktion \(I\) bilden, welche in \(R\) stetig und absolut nicht größer als eine positive Zahl \(M\) ist, und auf \(I\) mit \(F\) übereinstimmt. Fallen die obere und die untere Grenze von \(\int_R fdT\) für alle möglichen Funktionen \(f\) zusammen, so wird ihr gemeinschaftlicher Wert als \(\int_R FdT\) definiert. Hierauf kann man zur Definition von \(\int_E FdT\) gehen, wo \(E\) eine in \(R\) enthaltene Punktmenge bezeichnet. Die Eigenschaften der derartig definierten Integrale werden ausführlich erörtert.

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References:

[1] Il teorema è ben notoV. La Vallée Poussin,Intégrales de Lebesgue,etc. [Guathier-villars, Paris (1916), p. 127. La dimostrazione è peraltro semplicissima.
[2] V. La Vallée Poussin, loc. cit 9).
[3] V. La Vallée Poussin, loc. cit. 9). Ch. VI, § 4.
[4] V. La Vallée Poussin, loc. cit. 9). Ch. III, n. 43.
[5] Si completerebbe agevolmente quest’enunciato, dimostrando che la condizione è altresi necessaria, se si vuole che il passaggio al limite rimanga lecito quale che sia l’insieme cui si estendono le integrazioni [v. Vitali, loc. cit. 20), p. 147].
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