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Sur une formule d’interpolation. (French) JFM 54.0279.03

Proceedings Congress Toronto 1, 641-650 (1928).
Die Verf. behandeln eine Verallgemeinerung der bekannten von Ch.-J. de la Vallée Poussin (1908; F. d. M. 39, 331 (JFM 39.0331.*)-333) stammenden Interpolationsformel. Die von den Verf. angegebene Formel lautet: \[ (1)\quad F_{r,m}(x)=\frac{(\sin mx)^{2r}}{m^{2r}C_r(mx)} \sum_{k=\infty}^{+\infty} \frac{f(\alpha_k)}{(x-\alpha_k)^{2r}}. \] Dabei bedeutet \(f(x)\) die zu interpolierende Funktion, die in \((\infty,+\infty)\) nur als beschränkt vorausgesetzt wird, \(r\) eine positive ganze Zahl, \(m\) eine willkürliche positive Zahl und \(C_r(z)\) das trigonometrische Polynom in \((\sin z)^2\) vom Grade \(r-1\), das durch die Entwicklung \[ (2)\quad \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(z-k \pi)^{2r}} = \frac{C_r(z)}{(\sin z)^{2r}} \] definiert ist. Mit Hilfe dieser Entwicklung wird (1) bewiesen. Ferner ist, wie bei de la Vallée Poussin: \[ (3)\quad \alpha_k=\frac{k \pi}{m} \;(k=0,\pm 1,\pm 2,\dots). \] An den Stellen \(\alpha_k\) gilt \[ (4)\quad F_{r,m}(\alpha_k)=f(\alpha_k), \] d. h. (1) liefert in der Tat eine Interpolation von \(f(x)\) an den Stellen \(\alpha_k\). Über diese Interpolation werden folgende Sätze bewiesen:
I. An jeder Stelle \(x_0\), an der \(f(x)\) stetig ist, gilt \[ (5)\quad \lim_{m \to \infty} F_{r,m}(x_0)=f(x_0), \] und die Konvergenz ist gleichmäßig in jedem ganz im Innern des Stetigkeitsintervalles von \(f(x)\) gelegenen, abgeschlossenen Intervall.
II. Genügt \(f(x)\) einer Lipschitzbedingung \[ (6)\quad | f(x_1)-f(x_2)|<\lambda | x_1-x_2|^\beta,\;0<\beta<1, \] so ist die Gute der Approximation gegeben durch \[ (7)\quad | f(x)-F_{r,m}(x)|<\frac{A \cdot \lambda}{m^\beta}, \] wobei \(A\) eine weder von \(m\) noch von \(f(x)\) abhängende Konstante ist. Für \(\beta=1\) gilt (7) auch noch, wenn \(r \geqq 2\) ist; für \(\beta=r=1\) ist (7) durch \[ (8)\quad | f(x)-F_{r,m}(x)|<\frac{A \cdot \lambda \cdot \log m}{m}+\frac{BM}{m} \] zu ersetzen; dabei ist \(M\) die obere Grenze von \(| f(x)|\) und \(B\) eine ebenfalls von \(m\) und \(f(x)\) unabhängige Konstante.
Ein weiterer Satz handelt von dem Verhalten von \(F_{r,m}(x)\) an einer Sprungstelle von \(f(x)\). Schließlich wird auf den Zusammenhang der vorliegenden Untersuchung mit Untersuchungen von L. Féjer (1916; F. d. M. 46, 419) und deren Verallgemeinerung durch N. Kryloff und E. Stajermann (1923; F. d. M. 48, 207 (JFM 48.0207.*)) hingewiesen.