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Sur la convergence en moyenne. (French) JFM 54.0282.01

Wenn die Funktionen \(f_1(x),f_2(x),\dots\) und \(f(x)\) auf einer meßbaren Menge \(E\) definiert sind und der Klasse \(L^2\) angehören, so folgt aus \[ \int_E f_n(x)g(x)dx \to \int_E f(x)g(x)dx \] für jede Funktion \(g(x)\) der Klasse \(L^2\) (convergence faible) und \[ \int_E | f_n(x)|^2 dx \to \int_E | f(x)|^2 dx \] bekanntlich die Konvergenz im Mittel der Folge \(f_n(x)\) gegen \(f(x)\): \[ \int_E | f_n(x)-f(x)|^2 dx \to 0 \] (convergence forte). – Verf. weist nun den analogen Tatbestand für die Funktionenklasse \(L^p\) \((p \geqq 2)\) nach: Wenn die Funktionen \(f_1(x),f_2(x),\dots\) und \(f(x)\) auf einer meßbaren Menge \(E\) definiert sind und der Klasse \(L^p\) angehören, so folgt aus der schwachen Konvergenz der Folge \(f_n(x)\), d. h. aus \[ \int_E f_n(x)g(x)dx \to \int_E f(x)g(x)dx \] für jede Funktion \(g(x)\) der Klasse \(L^p\), und der zusätzlichen Forderung \[ \int_E | f_n(x)|^p dx \to \int_E | f(x)|^p dx \] die Konvergenz im Mittel (von der Ordnung \(p\)) der Folge \(f_n(x)\) gegen \(f(x)\), d. h. \[ \int_E | f_n(x)-f(x)|^p dx \to 0. \]

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