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Untersuchungen über Funktionen großer Zahlen. I. (German) JFM 54.0297.02

U. a. wird bewiesen: Es seien \(\psi(t)\) und \(\omega(t)\) beliebige, auf \(<0,1>\) unbeschränkt differenzierbare Funktionen derart, daß \(\omega^{(j)}(0)=0\), \(0 \leqq j<m\); \(\omega^{(m)}(0) \neq 0\), ferner \(\omega'(t)>0\) für \(0<t \leqq 1\) ist. Dann gibt es eine Zahlenfolge \(\{ \Lambda_n \}\) derart, daß für alle \(n \leqq 1\) und \(x>1\) die Ungleichheit \[ \left| \int_0^1 e^{-x \omega(t)} \Psi(t)dt-\sum_{\nu=0}^{n-1} \frac{\alpha_{\nu+1}^{[m]} \Phi_\nu}{\left( \root m\of{x} \right)^{n+1}} \right| \leqq \frac{\Lambda_n}{\left( \root m\of {x} \right)^{n+1}} \] besteht; dabei ist \[ \Phi_n=\left( \frac{d^n}{dt^n} \frac{\Psi(t) t^{n+1}}{\root m\of {(\omega(t))^{n+1}}} \right)_{t=0} \] und \[ \alpha_n^{[m]}=\frac{\Gamma \left( \frac nm+1 \right)}{n!}. \]
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Full Text: DOI EuDML