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Sur les fonctions conjuguées. (French) JFM 54.0307.02

Ist \(f(x)\) \(L\)-integrierbar, \(S(f)\) die Fourierreihe von \(f(x)\), \(\overline{S}(f)\) die konjugierte Fourierreihe, so ist die verallgemeinerte Summe \(\overline{f}\) der konjugierten Reihe im allgemeinen nicht integrierbar. M. Riesz (1927: F. d. M. 53, 259 (JFM 53.0259.*)) hat bewiesen, daßfür die Klasse \(L^{1+\varepsilon}\) die konjugierte \(\overline{f}\) auch integrierbar ist, d. h: \(\overline{S}(f)=S(\overline{f})\). Verf. sucht nun nach weiteren Bedingungen für die Gültigkeit der letzten Relation und gelangt hierbei u. a. zu den folgenden Sätzen: (1) Ist \(| f(x)| \cdot \log^+ | f(x)|\) integrierbar, so ist \(\overline{S}(f)=S(\overline{f})\). (2) Zu jeder beschränkten, positiven Funktion \(\varepsilon(x)(x \geqq 0)\), welche für \(x \to \infty\) gegen Null strebt, kann man eine Funktion \(f(x)\) konstruieren, so daß\(f(x)\cdot \log^+| f(x)| \cdot \varepsilon(| f|)\) noch integrierbar ist, während \(\overline{f}(x)\) es nicht ist.

Citations:

JFM 53.0259.*
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Full Text: Gallica