Über Beziehungen der Eindeutigkeitsfragen in den Theorien der trigonometrischen Reihen und Integrale. (German) JFM 54.0320.03

Zygmund, A.

Math. Ann. 99, 562-589 (1928).

In der Theorie der trigonometrischen Reihen bezeichnet man eine in \(<0,2\pi>\) gelegene Menge \(E\) als eine Cantorsche Ausnahmemenge, wenn aus der Konvergenz einer jeden trigonometrischen Reihe \[ S(x)\equiv \frac{a_0}{2}+\sum_{\nu=1}^\infty (a_\nu \cos \nu x+b_\nu \sin \nu x) \] gegen Null in der Komplementärmenge von \(E\) geschlossen werden kann, daß\(a_\nu=b_\nu=0\) ist. Ganz analog bezeichnet man in der Theorie der trigonometrischen Integrale (S. Pollard; Proceedings L. M. S. 25 (1926), 451-468; F. d. M. 52. M. Jacob, 1927; F. d. M. 53, 260 (JFM 53.0260.*)-261) eine Menge \(E\) als eine Cantorsche Ausnahmemenge, falls aus der Konvergenz eines jeden trigonometrischen Integrals: \[ J(x) \equiv \int_0^\infty A(s)\cos sx+B(s)\sin sx)ds \] gegen Null im Komplemente von \(E\) geschlossen werden kann, daßfast überall in \(s\) \[ A(s)=B(s)=0 \] ist. Verf. beweist nun, daßdie Cantorschen Ausnahmemengen bei den trigonometrischen Reihen und bei den trigonometrischen Integralen dieselben sind. Er erweitert ferner diesen Satz auf solche Ausnahmemengen, die bei der Eindeutigkeitsfrage der Darstellung einer Funktion durch ihre Fouriersche Reihe, bzw. durch ihr Fourierintegral auftreten. Im Gegensatz zu den Cantorschen könnte man diese als die Du-Bois-Reymondschen Ausnahmemengen bezeichnen.
In Kap. I werden die Multiplikationssätze sowie die von Rajchman und Zygmund erweiterten Riemannschen Lokalisationsformeln aus der Theorie der trigonometrischen Reihen auf trigonometrische Integrale übertragen, während Kap. II dem Beweise der Hauptsätze gewidmet ist. Die Beweise beruhen wesentlich auf dem folgenden Grundgedanken, der mit den Riemannschen Lokalisationsformeln eng verknüpft ist:
Es sei \(S(x)\) eine trigonometrische Reihe mit nach Null strebenden Koeffizienten und \(I(x)\) ein trigonometrisches Integral von der oben angegebenen Form mit \(\lim_{\mu=\infty} \int_\mu^{\mu+1}| A(s)| ds=0\) und \(\lim_{\mu=\infty} \int_\mu^{\mu+1}| B(s)| ds=0\); es entstehe ferner \(\overline{S}(x)\) aus \(S(x)\) durch zweimalige formale Integration und entsprechend \(\overline{I}(x)\) aus \(I(x)\). Stimmen nun \(\overline{S}(x)\) und \(\overline{I}(x)\) für \(a \leqq x \leqq b\) überein, so sind die Reihe \(S(x)\) und das Integral \(I(x)\) in \((a,b)\) äquikonvergent.

Reviewer: Jacob, M., Dr. (Triest)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trignometrische Reihen und Verwandtes.

Citations:

JFM 53.0260.*

References:

[1]	N. Bary, [1], Sur l’unicité du développement trigonométrique, Fund. Math. 9 (1927).
[2]	H. Hahn, [1], Über die Methode der arithmetischen Mittel in der Theorie der verallgemeinerten Fourierschen Integrale. Sitzb. d. Ak. d. Wiss. Wien (1925). · JFM 51.0232.01
[3]	Hardy and Riesz, [1], The general theory of Dirichlet’s series, Cambridge (1915), pp. 1-79. · JFM 45.0387.03
[4]	M. Jacob, [1], Über den Eindeutigkeitssatz in der Theorie der trigonometrischen Integrale. Math. Annalen98 (1927). · JFM 53.0260.01
[5]	D. Menchoff, [1], Sur l’unicité du développement trigonométrique, C. R.163 (1916), pp. 433-436. · JFM 46.0457.02
[6]	S. Pollard, [1], On the identification of coefficients in the trigonometrical integral, Proc. Lond. Math. Soc. (1926). · JFM 52.0282.02
[7]	A. Rajchman, [1] Sur le principe de localisation de Riemann (polnisch), C. R. de la Soc. Scient. de Varsovie11 (1918), pp. 115-152.
[8]	A. Rajchman, [2], Sur les séries trigonometriques sommables par le procédé de Poisson (polnisch), Prace Mat.-Fiz.30 (1919).
[9]	A. Rajchman, [3], Sur l’unicité du développement trigonométrique, Math. Annalen96 (1925).
[10]	A. Rajchman und A. Zygmund, [1] Sur la possibilité d’appliquer la méthode de Riemann aux séries trigonométriques sommables par le procédé de Poisson, Math. Zeitschr.25 (1926). · JFM 52.0272.01
[11]	B. Riemann, [1], Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe, Ges. Abhandlungen. · JFM 01.0131.03
[12]	H. Steinhaus, [1], Quelques propriétés des séries trigonométriques et des séries de Fourier (polnisch), C. R. de l’Acad. de Cracovie (1915).
[13]	Ch. de la Vallée Poussin [1], Sur l’unicité du développement trigonométrique, C. R.156 (1912), pp. 952-956.
[14]	A. Zygmund, [1], Sur la théorie riemannienne des séries trigonométriques, Math. Zeitschr.23 (1925).
[15]	A. Zygmund, [2], Sur les séries trigonométriques sommables par le procédé de Poisson, Math. Zeitschr.25 (1926). · JFM 52.0272.02