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Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems. (German) JFM 54.0324.02

Über das von A. Haar (Diss. Göttingen 1909; F. d. M. 40, 475 (JFM 40.0475.*); 41, 469-470) gegebene Orthogonalsystem \(\varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots\) beweist Verf. den folgenden Satz: Für jede auf \(<0,1>\) definierte, mit der \(\alpha\)ten Potenz ihres Betrages \((\alpha \geqq 1)\) im Lebesgueschen Sinne integrierbare Funktion gilt die Beziehung \[ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 | f(x)-\sum_{\nu=1}^n c_\nu \varphi_\nu(x)|^\alpha dx=0, \] in der die \(c_1,c_2,\ldots\) die Fourier-Koeffizienten \[ c_\nu=\int_0^1 f(x) \varphi_\nu(x)dx \] bedeuten. Er zeigt ferner, daß es in bezug auf jedes zusammenhängende, beschränkte, ebene Gebiet \(\Omega\) vom Lebesgueschen Maß e Eins ein in bezug auf \(\Omega\) orthogonales, normiertes und vollständiges System \(\varphi_1(x,y),\varphi_2(x,y),\dots\) gibt, welches für die auf \(\Omega\) mit der \(\alpha\)-ten Potenz ihres Betrages integrierbaren Funktionen \(f(x,y)\) dasselbe leistet, wie das Haarsche System für Funktionen \(f(x)\) einer Variablen.

Citations:

JFM 40.0475.*
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