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A set of continuous orthogonal functions. (English) JFM 54.0324.03

Verf. gibt eine Folge von in einem Intervall stetigen Orthogonalfunktionen \(f_\kappa(x)\) an mit der Eigenschaft, daß die zu einer beliebigen stetigen Funktion \(F(x)\) gehörige Fourierreihe \(\sum f_\nu(x) \int F(\xi)f_\nu(\xi)d \xi\) gleichmäßig gegen diese konvergiert. Diese Folge unterscheidet sich von der bekannten Haarschen dadurch, daß die \(f_\kappa(x)\) stetig sind, während Haar nur stückweise stetige hat. Das System wird durch Orthogonalisierung von geeignet gewählten Polygonzügen (bei Haar Treppenfunktionen) gebildet. Ist \(F(x)\) quadratisch integrierbar, so konvergiert die Reihe in allen Stetigkeitspunkten gegen \(F(x)\).
Die Haarsche Folge kann aus der vorliegenden durch Differentiation gewonnen werden.

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References:

[1] A. Haar, Math. Annalen69 (1910), pp. 331-371. · JFM 41.0469.03
[2] cf. e. g. Courant-Hilbert, Methoden der math. Physik, Berlin 1924, p. 34.
[3] By a longer calculation, which treats the cases more in detail, we may show that, in fact,M<17 ?.
[4] cf. e. g. E. W. Hobson, Theory of functions of a Real Variable, 2nd ed., Cambridge 1921, vol. 1, p. 584. · JFM 48.1206.01
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