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Über die Koeffizienten reziproker Potenzreihen. (German) JFM 54.0335.03

Die Potenzreihe \[ Q(z)=\sum_{n=0}^\infty \beta_nz^n \;(\beta_0=1) \] habe einen von Null verschiedenen Konvergenzradius. Setzt man \[ 1-\frac{1}{Q(z)}=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n z^n=p(z), \] so besitzt \(p(z)\) ebenfalls einen von Null verschiedenen Konvergenzradius. Verf. beweist im wesentlichen die folgenden beiden Hauptsätze, die sich mit einfachen Mitteln aus den Rekursionsformeln zwischen den Koeffizienten \(\alpha_n\) und \(\beta_n\) herleiten lassen:
1. Die Koeffizienten von \(p(z)\) sind sämtlich nicht negativ, falls für jene von \(Q(z)\) gilt: \[ \beta_1>0 \;\text{und}\;\begin{vmatrix} \beta_{n-1} & \beta_n \\ \beta_n & \beta_{n+1} \end{vmatrix} \geqq 0 \;(n=1,2,\dots). \] 2. Dafür, daß die Koeffizientenfolge \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots\) von \(p(z)\) vollkonvex bzw. wesentlich vollkonvex sei, ist notwendig und hinreichend, daß die Folge der Koeffizienten \(\beta_0,\beta_1,\beta_2,\dots\) von \(Q(z)\) selbst vollkonvex bzw. wesentlich vollkonvex ist. Dabei heiß t eine reelle Folge \(\gamma_0,\gamma_1,\gamma_2,\dots\) vollkonvex bzw. wesentlich vollkonvex, wenn für alle \(n=0,1,2,\dots\) \[ K^n \gamma_n \geqq 0 \;\text{und}\;K^n \gamma_{n+1} \geqq 0 \] bzw. \[ K^n \gamma_n>0 \;\text{und}\;K^n \gamma_{n+1}>0 \] gilt, wobei ist: \[ K^{\nu+1} \gamma_n=\begin{vmatrix} \gamma_{n-\nu} & \gamma_{n-\nu+1} & \dots & \gamma_n \\ \gamma_{n-\nu+1} & \gamma_{n-\nu+2} & \dots & \gamma_{n+1} \\ \vdots \\ \gamma_n & \gamma_{n+1} & \dots & \gamma_{n+\nu} \end{vmatrix}. \]

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