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Über gewisse notwendige Determinantenkriterien für die Fortsetzbarkeit einer Potenzreihe. (German) JFM 54.0340.07

Die Potenzreihe \[ f(z)=\frac{a_0}{z}+\frac{a_1}{z^2}+\cdots \] sei im Gebiete \(| z|>\varrho\) konvergent. Es sei \(A\) eine beschränkte und abgeschlossene, im Bereich \(| z|\leqq \varrho\) liegende Punktmenge, deren Komplementärmenge zusammenhängend ist, und \(f(z)\) in derselben regulär. Mit \(\tau\) werde der transfinite Durchmesser von \(A\) bezeichnet. Man bilde die folgenden Hankelschen Determinanten \[ A_n^{(k)}= \begin{vmatrix} \l\;& \l & \l\;& \l\\ a_n & a_{n+1} & \dots & a_{n+k-1} \\ a_{n+1} & a_{n+2} & \dots & a_{n+k} \\ \vdots \\ a_{n+k-1} & a_{n+k} & \dots & a_{n+2k-2} \end{vmatrix}. \] Verf. beweist eine allgemeine Ungleichung zwischen diesen \(A_n^{(k)},\varrho\) und \(\tau\), deren wichtigsten Spezialfall wir formulieren: Es gilt \[ \overline{\lim_{k \to \infty}} | A_0^{(k)}|^{\frac{1}{k(k-1)}} \leq \tau. \] Dieses Kriterium verhält sich kovariant ganzen linearen Transformationen gegenüber. Als Anwendung dieser Ungleichung ergibt sich z. B. das folgende neue Resultat betreffend Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten:
Eine solche Funktion, die eindeutig ist und höchstens abzählbar viele singuläre Punkte besitzt, muß eine rationale Funktion sein.
Beim Beweis der obigen Ungleichung und dem zitierten Satz wird vor allem ein für sich interessanter Hilfssatz verwendet wonach zwei beschränkte und abgeschlossene Punktmengen, die sich nur in abzählbar vielen Punkten unterscheiden, den gleichen transfiniten Durchmesser besitzen.

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References:

[1] Es ist an und für sich gleichgültig, ob man ein Funktionselement betrachtet, das im Punktz=0 regulär ist, wie es gewöhnlich geschieht, oder eines, das im Punktz=? regulär ist, wie es hier geschieht. Ich mache den Übergang vonz zu 1/z jetzt, um ihn nicht später, bei der Betrachtung der Tschebyscheffschen Polynome, an unbequemerer Stelle machen zu müssen.
[2] Vgl. z. B. G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (Berlin 1925), Bd. 2, S. 102-105, 304-306.
[3] Vgl. J. Hadamard, La série de Taylor et son prolongement analytique (2. Aufl., unter Mitwirkung von M. Mandelbrojt) (Paris 1926), Bd. 1, S. 77-83.
[4] G. Pólya, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Annalen77 (1916), S. 497-513; · JFM 46.0481.01
[5] F. Carlson, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Zeitschr.9 (1921), S. 1-13. · JFM 48.1208.02
[6] G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, Proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922), p. 22-38. Vgl. ferner · JFM 48.1209.01
[7] G. Pólya, Arithmetische Eigenschaften und analytischer Charakter, Jahresbericht d. deutsch. Math. Ver.31 (1922), S. 107-115
[8] G. Szegö, Tschebyscheffsche Polynome und nich-fortsetzbare Potenzreihen, Math. Annalen87 (1922), S. 90-111. · JFM 48.0330.03
[9] M. Fekete, Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten Math. Zeitschr.17 (1923), S. 228-249. Ein wesentlicher Spezialfall schon bei G. Faber, Über Tschebyscheffsche Polynome, Journal für die reine u. angew. Math.150 (1920), S. 70-106. Vgl. ferner G. Szegö, Bermerkungen zu einer Arbeit von Herrn M. Fekete, Math. Zeitschr.21 (1924), S. 203-208. · JFM 49.0047.01
[10] Der transfinite Durchmesser der leeren Menge sei, definitionsgemäß, =0.
[11] L. Fejér, Über die Lage der Nullstellen von Polynomen, die aus Minimum-forderungen gewisser Art entspringen, Math. Annalen85 (1922), S. 41-48. · JFM 48.1136.03
[12] Ein Spezialfall hiervon ist der bei Szegö,??a. a. O. 5), S. 208, Fußnote 3) angegebene Satz.
[13] ??Vgl.a. a. O. 10) S. 25-26.
[14] ??Vgl. z. B.a. a. O. 2). Bd. II, Aufgaben 3, 4 auf S. 98 und 299-300.
[15] ??Vgl. z. B.a. a. O. 2) Bd. II, Aufgaben 141, 142 auf S. 25 und S. 199. Auf Grund der Resultate von 3c) wurde ein äquivalenter Satz schon vorher durch G. Szegö auf ähnliche Art bewiesen Vgl. a. a. O. 4d)G. Pólya, Arithmetische Eigenschaften und analytischer Charakter, Jahresbericht d. deutsch. Math. Ver.31 (1922), S. 110, Fußnote 2). Für einen auf die (auch hier benutzte) Größenordnung der Tschebyscheffschen Polynome in direkter Weise zurückgreifenden Beweis vgl. G. Faber, Über Potentialtheorie und konforme Abbildung, Sitzungsber. d. Bayer. Akad. (1920), S. 49-64, insbes. S. 56-58.
[16] Für den Determinantensatz ??vgl. z. B.a. a. O. 2), Bd. I Aufgabe 68, S. 48 und S. 208. Eine allgemeinere Ungleichung findet sich bei G. Szegö, A. Hankel-féle formákról, Math. és természettudományi értesitö36 (1918), S. 497-538, vgl. S. 514. In dieser Arbeit ist übrigens der asymptotische WertA 0 (k) für die Funktion (29) genauer bestimmt als hier durch (22) geschehen ist. Für die spezielle Funktion (20) findet sich übrigens eine (22) enthaltende genauere Abschätzung schon bei D. Hilbert, Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms, Acta Math.18 (1894), S. 155-159.
[17] ??Vgl. z. B.a. a. O. 2), Aufgabe 121, S. 21 und S. 195.
[18] ??A. a. O. 4e), Satz 7, S. 109.
[19] A. Ostrowski, Über Potenzreihen, die überkonvergente Abschnittsfolgen besitzen, Sitzungsberichte d. preußischen Akademie (1923) S. 185-192, Satz II. · JFM 49.0230.03
[20] ??Vgl. a. a. O. 4c) S. 23-24 oder a. a. O. 2) B. G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (1925) 2, S. 102-105, Aufgabe 24, S. 103, und S. 305.
[21] ??In 4a) ; 4b) F. Carlson, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Zeitschr.9 (1921), S. 1-13; und 4e) G. Szegö, Tschebyscheffsche Polynome und nicht-fortsetzbare Potenzreihen, Math. Annalen87 (1922), wurden Kriteria benutzt, die in (30) als Spezialfälle enthalten sind, nämlich fürk=n undk=n+1; dies entspricht dem Sonderfall ?=1/2 von (4). Das in 4c) G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, Proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922) benutzte Kriterium entspricht dem Sonderfall ?=1 von (4) und unterscheidet sich von (8) in derselben Spezialisierung, wie das in 4c) G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, Proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922) erreichte Resultat von dem Ergebnis des Textes: Es wurde derzeit \(\mathfrak{A}\) der (mit dem Satz V der Nr. 1 zusammenhängenden) Restriktion unterworfen, daß entweder die Komplementärmenge von \(\mathfrak{A}\) oder die von \(\mathfrak{A}'\) einfach zusammenhängend ist. · JFM 46.0481.01
[22] ??Vgl a. a. O. 4a), S. 508. Rationalzahlig heißt: entweder sind allec 0,c 1,c 2,... rational im gewöhnlichen Sinne, oder sie sind alle einem quadratisch-imaginären Körper \(\mathfrak{k}\) entnommen, zu dem dann auch die später zu erwähnende ganze Zahlc gehören muß. · JFM 46.0481.01
[23] ??A. a. O. 4c), S. 32-34.
[24] Aus dem schon einmal zitierten Satz??a. a. O. 15) ; der Schluß ist ausgeführt in 4c) G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922) S. 34.
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