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Recherches sur le théorème de M. Borel dans la théorie des fonctions méromorphes. (French) JFM 54.0348.03

Verf. hatte gezeigt, daßes zu jeder meromorphen Funktion \(f(x)=z\) eine Ringfolge \(\operatorname{Re}_n\) fester logarithmischer Breite gibt, auf der \(f\) genau seine Wachstumsordnung anstrebt, und wo die Häufigkeit aller \(z\)-Stellen schon sehr scharf durch \(T(R_n,f)\) nach beiden Seiten eingeschränkt werden kann bis auf die \(z\) aus gewissen Kugelkreisen vom Radius \(T(R_n,f)^{-1}\). Dies wird nun in der Richtung verschärft, daßzu jedem Ring schon ein Kreis darin angegeben werden kann, von einem Radius \(\varepsilon R_n\), wo ähnliches gilt: jeder Wert \(z\) wird dort mindestens \(N\)-mal angenommen, bis auf höchstens die \(z\), die auf der Riemannschen Kugel innerhalb zweier Kreise eines Radius \(T(R_n,f)^{-\lambda N}\) liegen; \(N\) ist durch \(T\) ausgedrückt proportional \(\varepsilon^2 T\) : \(\log T\); auch für \(\varepsilon=\varepsilon(n)\) werden genaue Angaben gemacht. Dieses Ergebnis wird verschiedentlich spezialisiert durch Benutzung. der Freiheiten, die für \(\varepsilon\) bleiben – und man erhält z. B. eine Verschärfung des Borelschen Satzes über die Konvergenzexponenten der Reihe der reziproken \(z\)-Stellenbeträge in der Art der Juliaschen Sätze. Auch für Funktionen unendlicher Ordnung können solche Ergebnisse gewonnen werden, freilich weniger scharf, und ebenso für Funktionen im Einheitskreis und in Winkelräumen.

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References:

[1] Ces mémoires que je désignerai par I, II, III, ont pour titres: I.Sur la distribution des fonctions méromorphes (Acta math., t. 47, 1926); II.Sur une propriété des fonctions méromorphes d’ordre positif (Bull. des sciences math., t. 50, 1926); III.Compléments au théorème de Picard-Julia (Ibid., t. 51, 1927).
[2] Contribution à l’étude des fonctions méromorphes (Annales Ecole norm., 3e s., t. 18, 1901) etLeçons sur les fonctions méromorphes (Paris, Gauthier-Villars, 1903).
[3] Zur Theorie der meromorphen Funktionen (Acta math., t. 46, 1925).
[4] Pourx=les zéros def(z) sont les pôles def(z).
[5] Voir les mémoires de M. Julia (Annales de l’Ecole nor., 1919, 1920, 1921) et son ouvrageLeçons sur les fonctions uniformes à point singulier essentiel Paris, Gauthier-Villars, 1924), le mémoire de M. OstrowskiÜber Folgen analytischer Funktionen und einige Verschärfungen des Picardschen Satzes (Math. Z., t. 24, 1925) et lesLeçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leurs applications de M. Montel (Paris, Gauthier-Villars, 1927).
[6] M. nevanlinna appelait ce nombre ordre. II m’a fait remarquer que, eu égard aux propriétés des zéros, il conviendrait plutôt de donner ce nom au nombre {\(\rho\)}+1. J’appellerai {\(\rho\)} ordre moyen et {\(\rho\)}+1 ordre total.
[7] Une partie des résultats donnés dans ce mémoire a été résumée dans une Note desComptes Rendus (3 janvier 1928).
[8] loc. cit., Une partie des résultats donnés dans ce mémoire a été résumée dans une Note desComptes Rendus (3 janvier 1928), p. 61.
[9] Le théorème de M. Picard et le complément de M. Julia (doit paraître dans leJournal de math.).
[10] J’ai signalé ce résultat à plusieurs reprises, notamment dans l’article duMémorial des sciences math. consacré aux fonctions entières et méromorphes (fasc. II). Voir aussi la thèse de M, Williams (à paraître dans leRendiconti del Circolo mat. di Palerma).
[11] Untersuchungen über den Picardschen Satz (Acta soc. sc. fennicae, t. 50, no 6, 1924).
[12] J’ai donné ce résultat dans le mémoire II lorsque la fonctionf(z) est méromorphe dans tout le plan à distance fini, comme conséquence du théorème VI du mémoire I.
[13] Comptes Rendus (décembre 1927 et janvier 1928).
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