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Über quasi-normale Funktionsscharen und eine Verschärfung des Picardschen Satzes. (German) JFM 54.0355.04

Verf. führt die Ostrowskische Bestimmung der Juliaschen Ausnahmefunktionen weiter und kennzeichnet die allgemeinere Klasse der QuasiAusnahmefunktionen durch notwendige und hinreichende Bedingungen über die Verteilung der Nullstellen und Pole.
Man ordnet einer gegebenen meromorphen Funktion mittels einer beliebigen Folge \(s_n \to \infty\) eine Funktionenfamilie \[ f_n(z)=f(s_nz) \] zu und untersucht sie auf Normaleigenschaft; je nach dem Ergebnis läßt sich jedes Normalfamilienkriterium als Satz über die Wertverteilung von \(f(z)\) auslegen. Daßdie Familie z. B. im Punkte \(z_0=0\) nicht normal sein kann, das liefert den Picardschen Satz. Kann sie aber für alle anderen endlichen \(z_0\) normal sein? Ostrowski zeigte, daßdies nur für eine spezielle Klasse meromorpher Funktionen möglich sei oder, als Satz über die Wertverteilung: für jede andere meromorphe Funktion und für jede ganze Funktion gehört zu jeder Folge \(s_n \to \infty\) wenigstens ein \(z_0 \neq 0,\infty\), so daß für jedes \(\varepsilon>0\), die Funktion \(f(z)\) auf den Kreisen \(K_n\) vom Zentrum \(s_nz_0\) und vom Radius \(\varepsilon| s_n|\) schon alle Werte bis auf höchstens zwei annimmt.
Verf. geht weiter und fragt, wann die Familie wenigstens quasinormal von endlicher Ordnung für alle \(z_0 \neq 0,\infty\) sein könne, und findet, daßdies nur bei einer speziellen Klasse meromorpher oder ganzer Funktionen von der Wachstumsordnung Null möglich sei, die die oben erwähnte Klasse umfaßt und sich durch recht einfache Bedingungen völlig charakterisieren läßt (Quasi-Ausnahmefunktionen). Für die Wertverteilung heißt das: Bei jeder andern meromorphen oder ganzen Funktion gibt es zu jeder \(s_n\)Folge ein \(z_0 \neq 0,\infty\), so daßnach Vorgabe von \(\varepsilon>0\) und einer positiven ganzen Zahl \(N\) unter den Kreisen \(K_n\) wenigstens einer ist, in dem die Gleichung \[ f(x)-a=0 \] wenigstens \(N\) Lösungen hat, ausgenommen höchstens zwei Werte \(a_1,a_2\).
Die Untersuchung folgt im allgemeinen dem Wege Ostrowskis, in dem nur die für quasinormale Familien nötigen Zusätze anzubringen sind. Am wesentlichsten ist wohl, daßes dem Verf. gelang, die bekannten Hurwitzschen Sätze über die \(a\)-Stellen konvergenter Folgen und ihren Einflußauf die Grenzfunktion sowie über das Konvergenzverhalten der \(a\)Stellen selbst auszudehnen.
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References:

[1] Julia hat seine Ergebnisse in zahlreichen Noten der C. R.168 (1919) und170 (1920) publiziert, ebenso in drei zusammfassenden Arbeiten in den Annales de l’École Normale Supérieure (3)36 (1919), (3)37 (1920), (3)38 (1921). Ferner findet sich eine zusammenfassende Darstellung in seinem Buche: G. Julia, Leçons sur les fonctions uniformes à point singulier essentiel isolé, Paris (1924) (Collection Borel).
[2] A. Ostrowski, Über Folgen analytischer Funktionen und einige Verschärfungen des Picardschen Satzes, Math. Zeitschr.24 (1925), S. 215-258. Diese Arbeit wird im folgenden mit O. zitiert. Man vgl. auch: G. Valiron, Remarque sur un théorème de M. Julia, Bulletin des Sciences Mathématiques49 (1925), p. 168-174. Mit denselben Fragestellungen, aber mit anderen Methoden, befassen sich noch folgende Arbeiten: Milloux, Journal de Mathématiques p. e. a. (9)3 (1924), p. 345-401. Valiron, Sur la distribution des valeurs des fonctions méromorphes, Acta math.47 (1925), p. 117-141. Valiron, Sur une propriété des fonctions méromorphes d’ordre posilif, Bull. Soc. math.50 (1926), p. 168-174. Valiron, Compléments an théorème de Picard-Julia, Bulletin des Sciences Mathématiques51 (1927), p. 167-183. · doi:10.1007/BF01216780
[3] P. Montel, Sur les familles quasi-normales de fonctions holomorphes, Mémoires de l’Académie royale de Belgique, classe des Sciences, (2)6 (1922), p. 1-41.
[4] P. Montel, Sur les familles quasi-normales de fonctions analytiques, Bulletin de la Société Mathématique de France52 (1924), p. 85-114.
[5] W. Saxer, Sur les fonctions méromorphes quasi-exceptionnelles, C. R. de l’Académie des Sciences184 (1927), p. 264-267.
[6] ??Vgl. O., S. 226-227.
[7] Ähnliche, viel allgemeinere Sätze finden sich in einer andern Untersuchung von Ostrowski. Man vergleiche: A. Ostrowski, Über vollständige Gebiete gleichmäßiger Konvergenz von Folgen analytischer Funktionen, Abhandl. aus dem Math. Seminar der Hamburger Universität1 (1922), S. 327-350, insbesondere S. 347-350.
[8] ??Vgl. O., S. 243-245.
[9] Vgl. R. Nevanlinna, Zur Theorie der meromorphen Funktionen, Acta mathematica46 (1925), S. 1-98.?Man vergleiche speziell Satz 1, S. 64. · doi:10.1007/BF02543858
[10] ??Vgl. O.,, S. 256-257.
[11] ??Vgl. loc. cit. 3b S. 21, Kap. III.
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