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Zur Geometrie der Funktionen zweier komplexer Veränderlicher. II: Das Verhalten der Funktionen in der Umgebung ihrer Verzweigungsstellen. III: Klassifikation der Singularitäten algebroider Kurven. IV: Die Verzweigungsgruppen. (German) JFM 54.0373.01
Die Verzweigungsstellen einer algebraischen Funktion von \(k\) unabhängigen Variablen \(x_1,\dots,x_k\) sind die Nullstellen der Diskriminante \(D(x_1,\dots,x_k)=0\). Nach Wirtinger unterscheidet man Verzweigungsstellen erster und zweiter Art je nachdem die “Diskriminantenmannigfaltigkeit” in diesem Punkte verzweigt ist oder nicht. Aus der Entwicklung von \(z\) für die Umgebung einer Verzweigungastelle erster Art ergibt sich unmittelbar der zyklische Charakter der zugehörigen Verzweigungsgruppe. An Hand zweier Beispiele von Funktionen zweier Veränderlichen zeigt Verf. das durchaus andere Verhalten der Funktionen in der Umgebung einer Verzweigungsstelle zweiter Art und führt durch seine Beispiele in seine Methode ein. Mit Hilfe einer stereographischen Projektion werden die Schnittkurven der Diskriminantenmannigfaltigkeiten mit einer Hyperkugel in einen geeigneten dreidimensionalen Raum projiziert. Die stereographischen Bildkurven ergeben sich dabei als einfache oder verkettete Torusknoten oder Schlauchknoten, deren Achsen im allgemeinen wiederum Schlauchknoten sind. Die vorliegenden topologischen Verhältnisse, die das Verhalten der Funktion in der Umgebung dieser Stelle charakterisieren, bestimmen sich im allgemeinen aus den Charakteristikenpaaren und Indicespaaren der Diskriminantenmannigfaltigkeiten. Im letzten Teil der Arbeit werden die zu den geschilderten topologischen Verhältnissen gehörigen Verzweigungen untersucht. Die Verzweigungen in den “Höchststellungen”. der Kurve erzeugen die zugehörige Gruppe vollständig. Zwischen diesen bestehen besondere Beziehungen, die sog. Wirtingerschen Relationen, aus denen sich durch Reduktion der einfache symmetrische Aufbau der Verzweigungsgruppe aus wesentlichen Erzeugenden ergibt. Zwischen diesen Erzeugenden, die eine einfache geometrische und funktionentheoretische Bedeutung haben, bestehen bestimmte definierende Relationen, die sich aus den Charakteristikenpaaren ableiten lassen.

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