Julia, G. Sur une suite double de polynomes liée à la représentation conforme des aires planes simplement connexes. (French) JFM 54.0377.03 Journ. de Math. (9) 7, 381-407 (1928). Die Funktionen, welche die schlichte Abbildung eines einfach zusammenhängenden, beschränkten Bereiches \(B\) auf eine Kreisfläche vermitteln, lassen sich bekanntlich durch Extremaleigenschaften charakterisieren; z. B. leistet unter allen passend normierten, in \(B\) regulären Funktionen diejenige die gesuchte Abbildung auf das Innere eines Kreises um den Nullpunkt, für welche das Maximum des absoluten Betrages in \(B\) möglichst klein wird. Diese Gedankengänge werden in der vorliegenden Arbeit in verschiedenen Richtungen ausgebaut. Unter allen in 0 normierten Polynomen \(P_n(z)\) \((P_n(0)=0,P_n'(0)=1)\) existiert ein (und nur ein) Polynom \(\Pi_{n,p}(z)\), für welches \[ \iint_B | P_n|^p d \sigma \] ein Minimum wird. Es wird nun bewiesen: \[ \begin{aligned} (1)\quad & \lim_{n \to \infty} \Pi_{n,p}(z)=f(z) \cdot [f'(z)]^{\frac 2p},\\ (2)\quad & \lim_{p \to \infty} \Pi_{n,p}(z)=\Pi_n(z),\\ (3)\quad & \lim_{n,p \to \infty} \Pi_{n,p}(z)=f(z),\end{aligned} \] wobei \(w=f(z)=z+\cdots\) diejenige Funktion bedeutet, welche den Bereich \(B\) schlicht auf das Innere eines Kreises um den Nullpunkt abbildet, und \(\Pi_n(z)\) dasjenige normierte Polynom, dessen absoluter Betrag in \(B\) möglichst klein bleibt. (Bei (2) besteht in jedem endlichen, bei (1) und (3) in jedem im Innern von \(B\) gelegenen Bereich gleichmäßige Konvergenz.) Zuletzt werden die \(\Pi_{n,p}(z)\) für gewisse spezielle Bereiche aufgestellt und ihre besonderen Eigenschaften untersucht. Reviewer: Cremer, H., Dr. (Köln) Cited in 1 Document JFM Section:Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 5. Konforme Abbildung und Uniformisierung. × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: EuDML