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Über die Nullstellen der unvollständigen Gammafunktion \(P(z,\rho)\). I: Die reellen Nullstellen von \(P(z,\rho)\) bei positivem reellen \(\rho\). (German) JFM 54.0388.02
Es handelt sich um die für \(\operatorname{Re}(z)>0\) durch das Integral
\[ \int_0^\rho e^{-t}t^{z-1}\,dt, \]
für beliebige \(z(\ne 0,-1,-2,\ldots)\) durch die beständig konvergente Fakultätenreihe
\[ e^{-\rho} \rho^z \sum_{s=0}^\infty \frac{\rho^s}{z(z+1)\cdots (z+s)} \]
dargestellte Funktion \(P(z,\rho)\). Diese hat nur endlich viele imaginäre Nullstellen, dagegen unendlich viele negativ reelle \(\xi_n\), wo \(| \xi_{n+1}|>|\xi_n|\). Diese werden eingegrenzt und asymptotisch abgeschätzt (für \(n \to \infty\) und \(\rho \to \infty\)).
Es liegt in den Intervallen \((-2p,-2p+\frac 12)\), \((-2p+\frac 12,-2p+1)\) für \(p=p(\rho), p(\rho) +1, p(\rho)+2\) je eine Nullstelle, die sich für \(p \to \infty\) dem ganzzahligen Endpunkt \(-2p\), bzw. \(-2p+1\) nähert, während die ganze positive Zahl \(p(\rho)\) für \(\rho \to \infty\) einer Gleichung
\[ 2p(\rho)=\kappa \rho+O(\log \rho) (\kappa \log \kappa=\kappa+1, \quad \kappa>0) \]
genügt. Die letzte Abschätzung macht insbesondere den Übergang zu
\[ \lim_{\varrho \to \infty} P(z,\rho)=\Gamma(z) \neq 0 \quad\text{für alle }z \] sehr anschaulich.
An Hilfsmitteln werden neben dem Integralsatze von den Nullstellen und Polen weitgehend Methoden der elementaren Kurvendiskussion benutzt, die aber hier oft größere Rechnungen verlangen.

MSC:
33B20 Incomplete beta and gamma functions (error functions, probability integral, Fresnel integrals)
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