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Theorie der Eisensteinschen Reihen von mehreren Veränderlichen. (German) JFM 54.0406.01
Es sei \(K\) ein total reeller Zahlkörper \(n\)-ten Grades, \(n>1\), \(K^{(1)}, K^{(2)},\dots,K^{(n)}\) die Konjugierten von \(K\), ferner, wenn \(\nu\) in \(K,\nu^{(i)}\) die “\(i\)-te Konjugierte” von \(\nu\). Ist \(\mathfrak n\) ein ganzes Ideal, so werde die Gruppe der simultanen Substitutionen \[ \left( \tau_i, \frac{\alpha^{(i)}\tau_i+\beta^{(i)} }{ \gamma^{(i)}\tau_i+\delta^{(i)} } \right),\;1 \leqq i \leqq n,\;\alpha,\beta,\gamma,\delta \;\text{in}\;K, \] \[ \alpha \delta-\beta \gamma= \text{ total positive Einheit,} \] \[ {\alpha \beta \choose \gamma \delta} \equiv \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)(\mod{\mathfrak n}), \] in den \(n\) Variabeln \(\tau_1,\dots,\tau_n\) mit \(\Gamma({\mathfrak n})\), Hauptkongruenzgruppe \(n\)-ter Stufe (für \(K\)), bezeichnet. \(\Gamma=\Gamma(1)\) ist die Hilbertsche Modulgruppe für den Körper \(K\).
Zunächst wird in Anlehnung an den Fall \(n = 1\) der Begriff einer ganzen Modulform der Dimension \(-k\) und der Stufe \(\mathfrak n\) eingeführt. Dann werden die Eisensteinreihen \[ G_k(\tau;\varrho_1,\varrho_2;{\mathfrak n};{\mathfrak a})=\sum N({\mathfrak a})^k \prod_{i=1}^n \frac{1}{(x_1^{(i)}\tau_i +x_2^{(i)})^{k}} \] aufgestellt. Dabei ist die Summe über alle den Bedingungen \[ x_1 \equiv \varrho_1({\mathfrak na}),\;x_2 \equiv \varrho_2({\mathfrak na}),\;(x_1,x_2)_{\mathfrak n} \] genügenden ganzen Zahlenpaare \(x_1,x_2\) aus \(K\) zu erstrecken; \(\mathfrak a\) ist ein Ideal aus \(K\); \(\varrho_1,\varrho_2\) sind Zahlen aus \(\mathfrak a\), und die Summationsbedingung \((x_1,x_2)_{\mathfrak n}\) verbietet das Auftreten von mod \(\mathfrak n\) assoziierten Zahlenpaaren \(x_1,x_2\). In den Fällen \(k \geqq 3\) sind diese Funktionen leicht als ganze Modulformen der Dimension \(-k\) und der Stufe \(\mathfrak n\) nachzuweisen. Aber auch in den Fällen \(k=1,2\) ergeben sich auf diesem Wege durch eine bekannte Heckesche Modifikation des Ansatzes ganze Modulformen. (Für \(n = 1, k = 2\) trifft das nicht zu.) Es wird nun gezeigt, daß falls \(k \geqq 2\), die sämtlichen \(G_k\) mit \(\left( \frac{\varrho_1}{\mathfrak a},\frac{\varrho_2}{\mathfrak a},{\mathfrak n} \right)=(1)\), von trivialen Ausnahmen abgesehen, linear unabhängig sind, und daß man von jeder ganzen Modulform der Dimension \(-k\) und der Stufe \(\mathfrak n\) eine Linearkombination dieser “primitiven” \(G_k\) abziehen kann, so daß die Differenz in allen Punkten \(\tau_i=\lambda^{(i)},1 \leqq i \leqq n,\lambda\) in \(K\), verschwindet. Zum Schluß wird eine Abschätzung der Koeffizienten in der Entwicklung bei \(\tau=\infty\) einer ganzen, in allen Punkten \(\tau_i=\lambda^{(i)}\) verschwindenden Modulform gewonnen, die für die zahlentheoretischen Anwendungen der Theorie von Bedeutung ist, indem sie den Gebrauch der Hardy-Littlewoodschen Methode bei ganzen Modulformen überflüssig macht.

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References:
[1] O. Blumenthal: Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen, Math. Ann. 56 (1903), S. 509–548. · JFM 34.0466.01 · doi:10.1007/BF01444306
[2] O. Blumenthal: Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen II, Math. Ann. 58 (1904), S. 497–527. · JFM 35.0432.01 · doi:10.1007/BF01449486
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