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Über eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veränderlicher. (German) JFM 54.0407.01

Diese Arbeit studiert die Modulfunktionen von zwei Variablen unter Zugrundelegung des Körpers \(k(\sqrt 5)\). Es wird der Satz bewiesen: Jede ungerade ganze totalpositive Zahl aus \(k(\sqrt 5)\) ist so oft als die Summe von vier ganzen Quadratzahlen von \(k\) darstellbar, als die achtfache Summe der Normen der Idealteiler der Zahl beträgt. Jede gerade ganze totalpositive Zahl aus \(k\) ist so oft als Summe von vier ganzen Quadratzahlen von \(k\) darstellbar, als die 12-fache Summe der Normen ihrer geraden Idealteiler, vermindert um die 24-fache Summe der Normen der ungeraden Idealteiler, beträgt.
Der Beweis beruht auf dem Nachweis der Identität: \[ (\sum_\mu q^{\mu^2}.q^{\prime\mu^{\prime^2}})^4=1+\sum_{\mu>0} A_\mu q^\mu . q^{\prime\mu'}, \;| q|<1,\;| q'|<1, \] wo \(\mu\) links alle ganzen, rechts alle totalpositiven ganzen Zahlen von \(k\) durchläuft, und \(\mu'\) die konjugierte von \(\mu\) ist. \(A_\mu\) gibt die gesuchte Zahl von Zerlegungen an. Die Identität entspringt, wenn man \[ q=e^{\frac{\pi i \tau}{\sqrt 5}},\;q'=e^{-\frac{\pi i \tau'}{\sqrt 5}} \] setzt, wodurch man im Quotienten der beiden Seiten eine Modulfunktion erhält. Dieselbe geht durch die Substitutionen der Modulgruppe. von \(k\) nur in 9 weitere Funktionen über, die alle regulär im Diskontinuitätsbereich sind. Also ist der Quotient konstant.
Die Arbeit schließt sich enge an die Heckeschen Untersuchungen über Modulfunktionen zweier Variabler an.

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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Joh. Kirmse, Zur Darstellung total positiver Zahlen als Summen von vier Quadraten, Math. Zeitschr.21 (1924), S. 195-202. · doi:10.1007/BF01187464
[2] Vgl. Blumenthal, ?ber Modulfunktionen von mehreren Ver?nderlichen, Math. Annalen56 (1903), S. 510. · doi:10.1007/BF01444306
[3] Abhandlungen aus dem Math. Seminar der Hamburgischen Universit?t. III. Bd. (1924), S. 213-236. Leipzig: B. G. Teubner.
[4] L??t man f?r ??-?? beliebige total positive Einheiten zu, wie es der Hilbertschen Definition genau entsprechen w?rde, so gelangt man in diesem K?rper, wo die Norm der Grundeinheit ?1 ist, zu keinen weiteren Substitutionen.
[5] Dieser Satz, der der Vollst?ndigkeit halber hier abgeleitet werden soll, findet im folgenden, wo man stets mit Hilfssatz 3 auskommt, keine Verwendung.
[6] Dieser Satz weicht offenbar insofern von dem analogen ?ber elliptische Modulfunktionen ab, als bei ihm keine einschr?nkende Voraussetzung ?ber das Verhalten der Funktion im Unendlichen auftritt.
[7] Hecke, Vorlesungen ?ber die Theorie der algebraischen Zahlen. Leipzig 1923, S. 230.
[8] Im Falle ?=0 (?+??? (mod 2)) ist ?=0, 1, ? oder ??, im Falle ?=1 (?+??1 (mod 2)) ist ?=0 oder 1.
[9] c 1,c 2,c 3 sollen Konstanten bedeuten.
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