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Approximations successives et équations différentielles. (French) JFM 54.0412.06

Paris: Gauthier-Villars (Mémorial des sciences mathématiques, fasc. 28). 48 p. (1928).
Aus dem Vorwort: “Seit etwa 30 Jahren macht man bei verschiedenen Fragen der Analysis Gebrauch von der Methode der sukzessiven Approximationen, deren Stärke und Schmiegsamkeit die Arbeiten von Picard gezeigt haben. In der Theorie der Differentialgleichungen kann man auf diesem Wege bedeutsame Resultate unter sehr weiten Voraussetzungen herleiten; verschiedene derartige Beweise finden sich in den klassischen Lehrbüchern. Aber wegen der Verschiedenheit der Probleme mußdie ursprüngliche Picardsche Methode weitgehenden Abwandlungen unterworfen werden, die in jedem Sonderfalle zur erneuten Bildung der sukzessiven Approximationen und zur Untersuchung ihrer Konvergenz Veranlassung geben.”
“Diese Fragen werden in dem vorliegenden Heft des Mémorial des sciences mathématiques behandelt, und zwar im Anschlußan eine allgemeine Theorie der Transformation des Systems von Differentialgleichungen in ein System von Integralgleichungen und der Existenz der Lösungen dieses letzteren Systems.” “In diesen Integralgleichungen können die Grenzen konstant oder variabel sein und die Gleichungen sind im allgemeinen in bezug auf die unbekannten Funktionen nicht linear Die Darstellung beschränkt sich durchweg auf das reelle Gebiet.
Inhaltsverzeichnis: Einleitung. 1. Bildung und Konvergenz der sukzessiven Approximation. 2. Lösungen als Funktionen der Anfangsbedingungen oder gewisser Parameter. 3. Über die Abschätzung des Fehlers bei der angenäherten Integration Anwendung auf die Cauchy-Lipschitzsche Methode. 4. Ausdehnung der bisherigen Ergebnisse. 5. Singuläre Lösungen. 6. Nichtlineare Integralgleichungen vom Volterraschen Typ, die zu einem System von Differentialgleichungen gehören. 7. Die Methode von Dini. 8. Integralgleichungen mit festen Grenzen. 9. Existenztheorem für Systeme nichtlinearer Integralgleichungen vom Volterraschen Typ. 10. Über gewisse Systeme von linearen Fredholmschen Gleichungen. 11. Beispiele. 12. Existenztheorem für ein nichtlineares System vom Fredholmschen Typ. 13. Beispiele Problem von Picard: Charakteristik: einer Gleichung zweiter Ordnung, die durch zwei Punkte geht und Verallgemeinerungen. 14. Asymptotische Lösungen. 15. Asymptotische Darstellung der Integrale gewisser linearer Gleichungen. 16. Über gewisse Singularitäten einer Gleichung erster Ordnung. Bibliographie. (IV 12.)

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