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Leçons sur quelques équations fonctionnelles avec des applications à divers problèmes d’analyse et de physique mathématique. (French) JFM 54.0426.02
Paris: Gauthier-Villars (Cahiers scientifiques publiés sous la direction de G. Julia). 187 p. (1928).
Aus dem Vorwort: “Dieser Band enthält die Vorlesungen, die ich im Jahre 1911 an der Sorbonne gehalten und mit einigen Ergänzungen 1927 wiederholt habe. Er behandelt gewisse einfache Typen von Funktionalgleichungen. Das Band zwischen den einzelnen Kapiteln kann vielleicht ein wenig locker scheinen, da die Idee der Funktionalgleichungen in sich selbst vage ist. Der hauptsächliche Gegenstand ist die Aufzeigung interessanter, zu Abschweifungen anregender Beispiele aus verschiedenen, von einander entfernten Gebieten der Mathematik. So geben am Anfang des Werkes einige sehr einfache Funktionalgleichungen Veranlassung, von der nichteuklidischen Geometrie zu sprechen. Die elliptischen und Abelschen Funktionen und ihre Verallgemeinerungen führen ebenfalls auf Beispiele, die ausgedehnter Entwicklungen fähig sind. Es folgen Differenzengleichungen und Fragen, die sich auf Iterationen beziehen. Endlich werden lineare Integralgleichungen betrachtet und gewisse Probleme der mathematischen Physik daran angeschlossen.”
“Da ich darauf verzichtet habe, den Band IV meines Traité d’Analyse zu publizieren, bin ich dem Rat einiger meiner Hörer gefolgt, die die Veröffentlichung der Vorlesungen wünschten, die ich in den letzten zwanzig Jahren an der Sorbonne gehalten habe. Im vorigen Jahre sind bereits meine Vorlesungen aus dem Jahre 1908 erschienen (Anmerkung des Referenten: vgl. F. d. M. 53, 452-453), an die sich der vorliegende Band in mehr als einer Hinsicht anschließt. Zwei weitere Vorlesungen sind schon von zweien meiner Hörer bearbeitet worden und können hoffentlich bald erscheinen.”
In Kap. I werden die Funktionalgleichungen \[ \begin{aligned} (1)\quad &f(x)+f(y)=f(x+y)\\ (2)\quad &f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\end{aligned} \] behandelt. (2) wird auf die Zusammensetzung gleicher Kräfte angewendet; dabei werden gewisse Formeln zwischen trigonometrischen und zyklometrischen Funktionen gewonnen, die auf die Herleitung der Grundformeln der nichteuklidischen, und zwar der hyperbolischen Trigonometrie angewendet werden. Dann wird das Poincarésche Modell der ebenen und räumlichen hyperbolischen Geometrie ausführlich entwickelt; die Bestimmung der Längenmessung hängt bekanntlich mit der Gleichung (1) zusammen. In Kap. II werden einige analytische Funktionen behandelt, die durch Funktionalgleichungen definiert sind, und solche, die ein rationales Additions- und Multiplikationstheorem zulassen; als Anwendung werden Fragen aus der Theorie der Iteration erörtert. In Kap. III behandelt Verf. zunächst die Differenzengleichung \[ (3)\quad F(x+1)-F(x)=f(x) \] sowie Verallgemeinerungen und Anwendungen derselben, sodann die elliptischen Funktionen und die Picardschen Transzendenten. Den Gegenstand des letzten Kapitels (IV) bildet die Abelsche Funktionalgleichung \[ (4)\quad f(\Theta(x))=f(x)+1 \;(\Theta(x)\;\text{gegeben}), \] sodann die partielle Differentialgleichung \[ (5)\quad \Delta V=k^2V \] und im Zusammenhang damit die Fredholmsche Theorie der linearen Integralgleichung zweiter Art. (IV 4, IV 11, IV 13.)
Besprechungen: Bulletin sc. Math. 52 (1928), 409-410. Mathesis 42 (1928), 418-419. L. Bieberbach; Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 103 kursiv. T. H. Gronwall; Bulletin A. M. S. 35 (1929), 733. J. R. P.; Revista Mat. hisp.-amer. (2) 4 (1929), 63-65.