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Les rotations fonctionnelles. (French) JFM 54.0432.02
1. Ist die Substitution im \(n\)-dimensionalen Raum \[ y_i=\sum_{j=1}^n C_{ij}X_j \;(i=1,\dots,n) \] orthogonal, so lassen sich die Gleichungen einfach so auflösen: \[ x_i=\sum_{j=1}^n C_{ij}y_j. \] Um unter den linearen Transformationen des unendlichvieldimensionalen Raumes (von kontinuierlich viel Dimensionen – der einzelne Punkt wird durch eine im Intervall \(<a,b>\) quadratisch Lebesgue-integrable Funktion dargestellt) vom Fredholmschen Typus \[ \varphi(s)=f(s)+\int_a^b K(s,t)f(t)dt \equiv K[f] \] gewisse Transformationen als “orthogonal” auszuzeichnen, geht Verf. von obiger Auflösung aus und definiert eine Transformation als orthogonal, wenn sie sich in der Form \[ f(s)=\varphi(s)+\int_a^b K(t,s)\varphi(t) dt \] umkehren läßt. \(K(s,t)\) heiß t alsdann ein Drehungskern, die Transformation eine funktionale Drehung. Ist \(\Gamma(s, t;\lambda)\) der lösende Kern zu \(K(s,t)\), d. h. die Resolvente der Integralgleichung \[ f(s)=\varphi(s)+\lambda \int K(s,t)f(t)dt, \] so muß \[ K(t,s)=-\Gamma(s,t;-1) \] sein. Hieraus ergibt sich vermittels bekannter Sätze der Integralgleichungstheorie: Notwendig und hinreichend dafür, daß \(K(s,t)\) einen Drehungskern darstellt, ist, daß \(K(s,t)\) mit der Resolvente eines schiefsymmetrischen Kernes für den Parameterwert \(\lambda=\frac 12\) übereinstimmt.
2. Die funktionalen Drehungen bilden eine Gruppe. Sie lassen das innere Produkt \[ [\varphi_1 \cdot \varphi_2]=\int \varphi_1(s) \varphi_2(s)ds \] zweier quadratisch integrabler Funktionen invariant (d. h. “Abstand” und “Winkel” bleiben ungeändert) und transformieren daher ein (normiertes, vollständiges) Orthogonalsystem wieder in ein solches; die Fourierkoeffizienten einer Funktion bezüglich des alten Systems sind gleich denen der transformierten Funktion bezüglich des neuen. Eine funktionale Drehung transformiert ein normiertes Orthogonalsystem \(\varphi_\nu(s)\), das gleichmäßig dicht oder normal dicht ist, in ein ebensolches. (“Gleichmäßig dicht” heißt: \[ \Phi_n(s,t)=\frac 1n[\varphi_1(s) \varphi_1(t)+\cdots +\varphi_n(s) \varphi_n(t)] \] strebt auf der Geraden \(s=t\) der \(st\)-Ebene für \(n \to \infty\) im Mittel gegen Eins; “normal dicht”: \(\Phi_n(s,t)\) strebt außerdem auf jeder andern Kurve, ausgenommen höchstens auf Parallelen zu den Achsen, im Mittel gegen Null.) Umgekehrt ist eine Transformation, die ebenso wie ihre Umkehrung ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem wieder in ein solches überführt, eine funktionale Drehung.
3. Es fragt sich nun, unter welchen Bedingungen man von einem normierten vollständigen Orthogonalsystem \(\varphi_i\) zu einem andern \(\psi_i\) gerade durch eine funktionale Drehung übergehen kann. Es stellt sich heraus, daß dazu notwendig und hinreichend ist, daß die beiden Systeme “gleichartig geordnet” sind, d. h. daß \[ \sum_i \left[ 1-\int_a^b \varphi_i(s) \psi_i(s)ds \right] \] konvergiert. Zwei solche Systeme sind im asymptotischen Sinne identisch, d. h. \(\varphi_i(s)\psi_i(s)\) strebt für \(i \to \infty\) gegen Null, außer höchstens auf einer Nullmenge. Die Übertragung der Resultate auf unvollständige Systeme ist schwierig und noch nicht abgeschlossen.
4. Es seien die Fourierkoeffizienten \(A_j^i\) eines Drehungskerns \(K(s,t)\) hinsichtlich eines vollständigen normierten Orthogonalsystems \(\varphi_i\) berechnet: \[ A_j^i=\iint K(s,t) \varphi_i(s) \varphi_j(t)ds\,dt. \] Aus den \(A_j^i\) läß t sich die Säkulardeterminante \(| B_j^i|\) mit den Elementen \[ B_j^i=A_j^i+\varepsilon_{ij},\varepsilon_{ij}=0 \;\text{bzw.}\;1 \;\text{für}\;i \neq j \;\text{bzw. für}\;i=j \] bilden. Sie ist eine unendliche orthogonale Determinante, die im Sinne von H. von Koch konvergiert. Ist dann \(D(\lambda)\) die Fredholmsche Determinante des Kerns \(K(s,t)\), so ist \[ | B_j^i|=D(-1)=1+\sum_i A_i^i +\sum_{i,j} \begin{vmatrix} A_i^i & A_j^i \\ A_i^j & A_j^j \end{vmatrix}+\cdots. \] Im Gegensatz zu den endlichen orthogonalen Determinanten braucht \(| B_j^i|\) nicht den Wert Eins zu haben.
5. Ausgehend von einer beliebigen, quadratisch integrablen Funktion \(\varphi_1(s)\) läß t sich die Folge \[ \varphi_2=K[\varphi_1],\;\varphi_3=K[\varphi_2],\dots \] bilden. Es kann vorkommen, daß diese Funktionen alle einer endlich viel dimensionalen Mannigfaltigkeit angehören, d. h. daß zwischen je \(n\) von ihnen eine lineare Relation mit konstanten Koeffizienten besteht. Dann ist der Drehungskern \(K\) von besonderer Art, er hat nämlich nur endlich viele Eigenwerte. Übrigens muß \(n\) gerade sein. Die funktionale Drehung ist in diesem Fall topologisch äquivalent einer euklidischen Drehung in einem gewissen endlichvieldimensionalen Raum, und die Determinante hat demgemäß hier den Wert Eins. (IV 8.)
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