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Commutative ordinary differential operators. (English) JFM 54.0439.01
Ersetzt man in dem Polynom \[ \varphi(t)=\alpha_0 t^n+\alpha_1 t^{n-1}+\cdots +\alpha_n \] die Variable \(t\) durch das Symbol \(D=\frac{d}{dx}\), so erhält man einen Differentialoperator. Zwei solche Operatoren sind, wenn die Koeffizienten \(\alpha\) ihrer Polynome Funktionen von \(x\) sind, im allgemeinen nicht vertauschbar. Die Autoren suchen (im Anschluß an eine frühere Arbeit, 1923; F. d. M. 49, 311 (JFM 49.0311.*)) nun nicht das allgemeine vertauschbare Paar sondern die vertauschbaren Paare \(P, Q\), die eine vorgeschriebene Identität \(f(P,Q)=0\) erfüllen, wo \(f\) ein Polynom in zwei Variablen ist. Diese Aufgabe steht in Zusammenhang mit der Uniformisierung der algebraischen Kurve \(f(p,q)=0\). Wenn \(P\) und \(Q\) Operatoren der angegebenen Art sind, so müssen gewisse aus ihnen abgeleitete, geometrisch deutbare Größen notwendig eine Reihe von Gleichungen erfüllen, und,wenn umgekehrt diese Größen den Gleichungen genügen, so läß t sich aus ihnen ein vertauschbares Paar von Operatoren ableiten.

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