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La théorie des groupes et la géometrie. (French) JFM 54.0446.01
Über zwei eng zusammenhängende Arbeitsgebiete berichtet Verf. hier: Erstens über seinen Einbau der Forderung des Erlanger Programms in die Differentialgeometrie Riemann-Levi-Civitascher Richtung (die Gedankengänge dazu finden sich bereits bei ihm in seiner Arbeit in Annales Ecole norm. (3) 40 (1923), 325-412 (F. d. M. 49, 542 (JFM 49.0542.*)-544); nähere Ausführung im Enseignement 24 (1925), 5-18; F. d. M. 51, die mathematische Formulierung in den Acta Math. 48 (1926), 1-42; F. dM. 52). Zweitens über seine Untersuchungen des Gruppenparallelismus und der Räume \(\mathfrak E\) (vgl. die Note des Verf. gemeinsam mit J. A. Schouten in Proceedings Amsterdam 29 (1926), 11-13; (F. d. M. 52), ferner die in F. d. M. 53; 388-390, 390-391, 392-393, 393-394 besprochenen Abhandlungen des Verf.).
I. Verf. gibt sich eine “Fundamentalgruppe” \(G\) vor. Einer Mannigfaltigkeit prägt er eine Geometrie auf, indem er sie im infinitesimalen einen Raum mit der Fundamentalgruppe \(G\) sein läßt. Er gibt ferner ein infinitesimales, der Gruppe \(G\) angehöriges Transformationsgesetz, nach dem diese “Tangentialräume” aufeinander bezogen sind, um die Lage eines Punktes in den verschiedenen Tangentialräumen feststellen zu können. Im Endlichen wird dies Transformationsgesetz im allgemeinen wegabhängig sein. Die Transformationen des Tangentialraums beim Durchlaufen geschlossener Wege durch einen festen Punkt bilden die Holonomiegruppe, eine Untergruppe von \(G\), die für alle Punkte wesentlich dieselbe ist. Läß t die Holonomiegruppe ihren zugehörigen Punkt fest, so heiß t der Zusammenhang torsionslos. Die Riemannsche Geometrie ist ein solcher torsionsloser Zusammenhang mit euklidischer Fundamentalgruppe.
Diese “innere” Definition läß t sich durch eine solche ersetzen, die von der Einbettung der Mannigfaltigkeit Gebrauch macht. Dann spielt die Fundamentalgruppe im Einbettungsraum. Als Beispiele dafür nennt Verf. die konforme und die projektive Geometrie auf einer Kurve. Bei der inneren Definition vermiß t man allerdings den Zusammenhang zwischen “Tangentialräum” und Mannigfaltigkeit.
Weitere Probleme entstehen beim Wechsel des erzeugenden Elements des Raumes, wie Verf. am Beispiel der projektiven Fundamentalgruppe erläutert.
II. Jede kontinuierliche Fundamentalgruppe erzeugt in ihrem Parameterraum Parallelismen: Vektoren \(ST\) und \(S'T'\) heißen parallel, wenn \[ TS^{-1}=T'S'{}^{-1},\;\text{bzw.}\;S^{-1}T=S'{}^{-1}T' \] gilt. Die total geodätischen Mannigfaltigkeiten dieser Räume sind gruppentheoretisch sehr wichtig. Ein dritter Parallelismus, der sich durch Mittelbildung aus den beiden herleitet, besitzt die Cartansche quadratische Form \(\varphi(e)\) als Invariante. Dieser “Darstellungsraum” der Gruppe hat die Eigenschaft, daß in ihm die geodätische Spiegelung eine Isometrie ist. Diese Eigenschaft ist charakteristisch für die Räume \(\mathfrak E\), die durch die Parallelverschiebungsinvarianz des Krümmungstensors definiert sind.
Die Räume \(\mathfrak E\) lassen sich gruppentheoretisch völlig beschreiben. Eine groß e Rolle spielt dabei ihre Bewegungsgruppe, die einfach oder halbeinfach ist. Jeder einfachen Gruppenstruktur entsprechen Räume \(\mathfrak E\) mit positiver und solche mit negativer Totalkrümmung, die sich nur durch die Wahl des erzeugenden Raumelements voneinander unterscheiden.
Auch rein gruppentheoretische Ergebnisse fördert die Untersuchung der Räume \(\mathfrak E\) zutage, so z. B. solche über die Erzeugung endlicher Transformationen aus infinitesimalen; über die Topologie halbeinfacher Gruppen und über deren Familienzahl.
III. Verf. zeigt, wie sich die bevorzugte Stellung der Riemannschen Geometrie aus ihrem Zusammenhang mit den einfachen und halbeinfachen Gruppen erklärt.
Subjects:
Vierter Abschnitt. Analyis. Kapitel 8. Kontinuierliche Gruppen. Differentialvarianten. Integralvarianten.
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