Certain integrals analogous to Fourier integrals. (English) JFM 54.0476.01

Stone, M. H.

M. Z. 28, 654-676 (1928).

Satz: Für die Gleichung \[ (1)\quad u''+(\varrho^2+g(x))u=0,\;-\infty<x<\infty, \] (\(\varrho\) konstant, \(| g(x)|\) auf dem unendlichen Intervall integrierbar), existieren zwei unabhängige Lösungen \(u_1\) und \(u_2\), welche, abgesehen von \(\varrho = 0\), analytisch in bezug auf \(\varrho\) in \(I(\varrho)>0\) und stetig in \(I(\varrho) \geqq 0\) sind und mitsamt ihren ersten Ableitungen für groß e \(\varrho\) die asymptotischen Entwicklungen \((-\infty<x<0)\) \[ \begin{aligned} &u_j^{(k)}(x,\varrho)=(\varrho \omega_j)^k e^{\varrho \omega_ jx} \left( 1+\frac{m(x,\varrho)}{\varrho} \right),\\ &\omega_1=i,\;\omega_2=-i,\;j=1,2,;\;k=0,1\end{aligned} \] haben (analog auf \(0\leqq x<\infty\)).
Ist \(g(x)\equiv 0\), so ist die Entwicklung nach den Eigenfunktionen von (1) die bekannte Fourierintegraldarstellung. Verf. stellt hierzu ein Analogon für allgemeine \(g(x)\) auf. Zuletzt behandelt er vom gleichen Gesichtspunkt die Entwicklung nach Bessel-Funktionen.

Reviewer: Bochner, S., Dr. (München)