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Sur l’unicité des solutions des équations aux dérivées partielles. (French) JFM 54.0496.01
Verf. teilt eine hinreichende Bedingung dafür mit, daß die partielle Differentialgleichung \(q=f(p,z,x,y)\) nicht mehr als eine Lösung besitzt, die auf einem Intervall \(x_1 \leqq x \leqq x_2\) der Bedingung \[ (1)\quad z(x_1,0)=\varphi(x) \] genügt, wobei \(\varphi(x)\) eine vorgeschriebene Funktion ist. Der Satz lautet: Ist die Funktion \(f(p,z,x,y)\) in dem Gebiet \(x_1 \leqq x \leqq x_2\), \(0 \leqq y \leqq y_2\), \(z_1 \leqq z \leqq z_2\), \(p_1 \leqq p \leqq p_2\) stetig und genügt sie dort der Lipschitzschen Bedingung \[ | f(p,z,x,y)-f(\overline{p},\overline{z},x,y)| \leqq L| p\overline{p}|+M| z-\overline{z}|, \] genügen ferner \(\varphi(x)\) und \(\varphi'(x)\) für \(x_1 \leqq x \leqq x_2\) den Ungleichungen \[ z_1<\varphi(x)<z_2,\;p_1<\varphi'(x)<p_2, \] so sind je zwei der Beziehung (1) genügende, stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzende Lösungen der Differentialgleichung in dem von den Geraden \[ y=0,\;y=\delta,\;y=\frac 1L(x-x_1),\;y=-\frac 1L(x-x_2) \] begrenzten Rechteck miteinander identisch; \(\delta\) bedeutet dabei eine hinreichend klein zu wählende positive Zahl.
Das hauptsächliche Hilfsmittel bildet der folgende Hilfssatz: Wenn die Funktion \(Z(x,y)\) in dem Dreieck \[ \xi \leqq x \leqq x_2,\;-\frac 1L(x-\xi_2) \leqq y \leqq \frac 1L(x-\xi_1) \] stetige partielle Ableitungen erster Ordnung \(\frac{\partial Z}{\partial x}=P\), \(\frac{\partial Z}{\partial y}=Q\) besitzt und dort der Beziehung \[ | Q| \leqq L \cdot | P|+M \cdot | Z| \] genügt, wenn ferner \(Z(x,0)=0\) ist für \(\xi_1 \leqq x \leqq x_2\), dann ist \(Z(x,y)\) in diesem Dreieck identisch Null.

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Full Text: Gallica