Sur la résolution numérique des systèmes d’équations algébriques entières à un nombre quelconque d’inconnues. (French) JFM 54.0501.03

Riquier, Ch.

Annales Ecole norm. (3) 45, 145-188 (1928).

Gegeben sei das System algebraischer Gleichungen in denn Unbekannten \(x,y,\dots\): \[ (1)\quad M_1x^{\alpha_1} y^{\beta_1}+\cdots+P_1=0,\;M_2 x^{\alpha_1} y^{\beta_2}+\cdots+P_2=0,\dots . \] Dafür, daß (1) die Lösung \(x=r,y=s,\dots\) hat, ist notwendig und hinreichend daß das System linearer homogener partieller Differentialgleichungen \[ (2)\quad M_1 \frac{\partial^{\alpha_1+\beta_1+\cdots}u}{\partial X^{\alpha_1} \partial Y^{\beta_1}} +\cdots+P_1u=0,\;M_2 \frac{\partial^{\alpha_2+\beta_2+\cdots}u}{\partial X^{\alpha_2}\partial Y^{\beta_2}}+\cdots+P_2u=0,\dots \] die Lösung const \(e^{rX+sY+\cdots}\) besitzt. Es wird nun bewiesen: Wenn das System (2) eine nicht identisch verschwindende Lösung besitzt und sein allgemeines Integral nur von \(g\) willkürlichen Konstanten abhängt (“Fundamentalfall”), so kann man alle Lösungen der Form \(e^{rX+sY+\cdots}\) finden, indem man \(x=r,y=s,\dots\) aus \(n\) Gleichungen des Grades \(g\) \[ (3)\quad F_1(x)=0,\;F_2(y)=0,\dots \] bestimmt. Damit ist im Fundamentalfall die Lösung von (1) auf die von (3) zurückführt. Weiter wird gezeigt, daß man den allgemeinen Fall auf den Fundamentalfall zurückführen kann. Ob der Fundamentalfall vorliegt, läß t sich durch eine endliche Rechnung feststellen. (Vgl. auch drei im Jahre 1927 erschienene Noten des Verf. über denselben Gegenstand; F. d. M. 53, 449 (JFM 53.0449.*)-450.)

Reviewer: Rothe, E., Dr. (Breslau)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen.

Citations:

JFM 53.0449.*